约瑟夫环

一共有 \(1\backsim n\) 这些点，组成首尾相接的环。从 \(1\) 号点开始报数（报数编号依次加 \(1\)，从 \(1\) 开始报），报到 \(k\) 的点就删除，然后再从下一个点重新开始报数。计算最终会剩下的点的编号。

我们称最终剩下的那个人为存活者。

做法：采用倒推的方式。最终情形一定是：只剩下一个点，这个点就是存活者。对于任意一种大小为 \(n\) 的情形，我们规定该种情况的一种新编号模式：从上一轮（剩 \(n + 1\) 个人）被删除的点的下一个点开始，编号为 \(1\)，往后依次报数。

现在我们尝试使用 剩 \(n\) 个点时存活者在新编号模式下的编号 递推 剩 \(n + 1\) 个点时存活者在新编号模式下的编号。设 \(f(n)\)，即 \(f(n) \rightarrow f(n + 1)\)。由于 \(f(1) = 1\) 已知；且 \(n\) 为初始值 \(N\) 时，就是从第一个人开始报数的，因此 \(f(N)\) 就是我们要求的答案。因此我们只要解决了 \(f(n) \rightarrow f(n + 1)\)，便解决了整个问题。

而对于剩 \(n + 1\) 个点与剩 \(n\) 个点 两种情形，我们会发现：剩 \(n + 1\) 个点时，被删除点的报数为 \(k\)，那么它的下一个点，也就是在接下来剩 \(n\) 个点时报数为 \(1\) 的点，在本轮中理应报数 \(k + 1\)。后续点也依此类推（剩 \(n\) 个点时报数为 \(i\) 的点，在上一轮剩 \(n + 1\) 个点时报数理应为 \(k + i\)）。这就可以理解为：剩 \(n + 1\) 个点相对于剩 \(n\) 个点的情形，每个点都循环后移了 \(k\) 位。那么，存活者在剩 \(n + 1\) 个点时，新编号模式下的编号相对于剩 \(n\) 个点的情形，也会循环后移 \(k\) 位，也就是：

\[f_{n+1} = (f_{n} + (k - 1))\space \%\space n + 1 \]

于是，通过递推 \(f_{i}\)，我们就可以 \(O(n)\) 解决约瑟夫环问题。