cf div2 1082 E (子序列计数 dp)

E. Rigged Bracket Sequence

一道稍稍灵活的子序列计数 dp，补了一晚上才补出来qwq。。。

Q: 给定长度为 \(n\) 的 RBS，对子序列计数，子序列需满足条件：循环右移一位后，整个括号串仍是 RBS。

一个括号串是 RBS：

• 末尾项 \(pre\) 等于 \(0\)
• 前缀所有位置的 \(pre \geq 0\)

显然循环右移操作不会破坏条件1；而对于任意以左括号结尾的子序列，循环右移后条件2一定仍然满足。故我们只需要考虑所有以右括号结尾的子序列。

子序列可行，等价于操作后，每个位置的 \(pre\) 值仍 \(\geq 0\)。

考虑对某个子序列进行该操作会对哪些位置的 \(pre\) 产生什么样的影响：显然一定不会对子序列两侧的位置产生影响；对于子序列内部（子序列两个端点构成的区间）的任何一个位置，考虑在子序列的所有位置中位于其左侧的最近的那个位置：

• 若为左括号，则该位置的 \(pre\) 值会减 \(2\)
• 若为右括号，则该位置的 \(pre\) 值不变

证明：考虑该位置前面的所有括号，经过循环右移操作后，变化的括号只有两个：

• 新加入了子序列的最后一个括号（这里一定是右括号，因为只考虑所有以右括号结尾的子序列）
• 移除了该位置左侧最近的、在子序列中的那个位置上的括号

于是，一个子序列是否可行，我们有了一个较为清晰的判断方法。考虑如何 dp：

状态定义

\(dp_{i}\)：强制 \(s[i]\) 为右括号（即使 \(s[i]\) 是左括号，也只是统计该位置是右括号时的情况）；\(s[i]\) 钦定为子序列的结尾，考虑往前添加 \(s[1 \backsim i - 1]\)，方案数。

（个人认为这样的状态定义好难想qwq。。。）

状态转移

考虑 \(dp_{i} \leftarrow dp_{j}\)，\(j \in [1, i - 1]\)。

• 若 \(s[j]\) 是右括号，则对于所有以 \(s[j]\) 结尾的合法子序列，加入 \(s[i]\) 后再进行循环右移操作，与对原来的子序列做循环右移操作是完全等价的，故一定仍合法。
• 否则，\(s[j]\) 是左括号，在添加 \(s[i]\) 并做循环右移后，与 \(dp_{j}\) 表示的情况相比（注意对于 \(dp_{j}\)，\(s[j]\) 是右括号），唯一的变化在于：\(pre[j\backsim i - 1]\) 均减 \(2\)（前面多了一个刚加入的右括号 \(s[i]\)，少了一个左括号 \(s[j]\)）。所以若想让该情况合法，必须满足 \(pre[j\backsim i - 1]\) 均 \(\geq 2\)。

因此，计算 \(dp_{i}\) 时，我们可以对每个位置 \(i\) 预处理出 \(pre < 2\) 的最左侧位置 \(lst\)，对于 \(j \leq lst\)，我们只转移 \(s[j]\) 是右括号的 \(dp_{j}\)；对于 \(j > lst\)，由于一定满足 \(pre(lst,i-1] \geq 2\)，故这个区间的每个位置的 \(dp_{j}\) 都可以转移。剩下的就是经典的前缀和优化 dp 了，具体实现见 code。

code