数位dp做题记录

学习资源：blog

LC2376

Q：求 \([1, n]\) 中，每一位数字无重复的数的个数。

一共只有 \(0\backsim 9\) 共 \(10\) 个数字，用它们的二进制集合作状态表示每一位是否出现过即可。本题需要特别注意前导 \(0\) 不算作出现过的数位，因此需要单独开一维前导 \(0\) 状态，转移时不能将其计入数位。

P2657

经典 \(Windy\) 数。

Q：统计 \([a, b]\) 内不含前导 \(0\) 且任意相邻两个数位上的数字之差至少为 \(2\) 的数的个数。

需要 前导0 \(lead0\) 与 上一位数字 \(last\) 两个状态。

code

P3413

Q：统计 \([l, r]\) 内包含长度至少为 \(2\) 的回文子串的数的个数。

由回文子串的包含特性，显然只需要看是否包含长度恰好为 \(2\) 或 \(3\) 的回文子串。

长度为 \(2\) \(\rightarrow\) 存在某一对相邻位的数字相同
长度为 \(2\) \(\rightarrow\) 存在某一对相隔 \(1\) 位的两位数字相同

需要设计 \(limit\)，\(lead0\)，\(last\)，\(last2\)，\(lastsame\)，\(last2same\) 六种状态，其中 \(last2\) 表示当前位的上一位的上一位的数字；\(lastsame\) 表示当前前缀是否存在相邻位相同；\(last2same\) 同理。

code

LC600

Q：计算在 \([0, n]\) 中有多少个整数的二进制表示中不存在连续的 \(1\)。

二进制上的数位 \(dp\)，与十进制没有任何区别。

不需要状态前导0 \(lead0\)，因为前导0对答案无影响；在 \(limit, last\) 的基础上，需要额外设计状态 \(exist\)，表示是否存在连续 \(1\)。

P6218

Q：计算 \([l, r]\) 所有数满足二进制中 \(cnt_{0} \geq cnt_{1}\) 的数的个数。

维护 \(lead0\) 和 \(dcnt\)，\(dcnt = cnt_{0} - cnt_{1}\)。

code

CF55D

Q：计算 \([l, r]\) 内能被自身所有位中出现过的所有非 \(0\) 数字整除的数的个数。

显然我们至少需要设计状态 \(state\)，表示数字 \(1\backsim 9\) 是否出现。

为了检验某个数是否能被出现过的数字整除，一个比较暴力的想法：对 \(1\backsim 9\) 每个数字开一维，表示该数 \(\%\) 数字 \(j\) 的余数，但这样设计会导致状态数过于庞大（共 \(9!\) 个）。考虑如何能让状态数降下来，且还能够起检验作用。

由数论知识：一个数 \(x\) 能被某个集合 \(S\) 内的每个数整除，当且仅当 \(x\) 能被 \(S\) 中所有数的 \(lcm\) 整除。那么检验某个数是否能被 \(1\backsim 9\) 中的某个数整除，只需要知道这个数 \(\%\) \(lcm(1\backsim 9)\) 得到的余数是否能被对应数字整除即可。而 \(lcm(1\backsim 9) = 5 \times 7 \times 8 \times 9 = 2520\)，显然可以作为数位 \(dp\) 的状态。