ABC 444 F (中位数二分+贪心)

F - Half and Median

Q：有 \(n\) 个木棍，第 \(i\) 条木棍的长度为 \(a_{i}\)，需要执行恰好 \(m\) 次折木棍操作：每次操作可以选任意一根长度 \(\geq 2\) 的木棍，将其折成两半（长为奇数则折成原长除 \(2\) 的上取整与下取整；长为偶数则折成长度相同的两部分。数据保证可以至少折 \(m\) 次）。最大化操作后 \(n + m\) 根木棍的长度的中位数。数据额外保证 \(n + m\) 一定是奇数（应该是为了避免偶数时中位数可能是小数的情况）。

看到中位数，显然优先考虑二分。对于长度 \(X\)，答案 \(\geq X\) 的充要条件是存在一种操作方案，使得操作后长度 \(\geq X\) 的木棍数量至少为 \(\frac{n+m+1}{2}\)。

由于每次切割木棍时只能对半分，我们可以证明对于任意长度为 \(A\) 的木棍，在其切割过程中可能出现的木棍长度种类数为 \(O(\log A)\)。因此，我们不妨模拟整个切割过程，每次贪心切分当前木棍集合中最长的木棍，对于多根长度相同的木棍合并在一起模拟，这样能保证最多枚举 \(O(n\log A)\) 次。

对于正在二分的长度 \(X\)，我们目标是：

• 分割结束后，长度 \(\geq X\) 的木棍至少 \(\frac{n+m+1}{2}\) 根
• 总木棍数量恰好为 \(n + m\)，也就是能够至少分割 \(m\) 次

我们可以先去分割长度 \(\geq 2X-1\) 的所有木棍，因为分割它们总是能保证长度 \(\geq X\) 的木棍数量不减，并且增加分割次数，一定不劣；模拟完切割过程后，我们先 check 长度在 \([X, 2X-1)\) 之间的木棍数量是否 \(\geq \frac{n+m+1}{2}\)，不满足则返回 false（因为长度 \(\geq X\) 的木棍不能再增多了）；若满足，也不可以直接返回 true，因为还没有保证至少切割了 \(m\) 次。为了在满足条件一的情况下尽可能地增大切割次数，我们考虑保留所有长度 \(\geq X\) 的木棍中最短的 \(\frac{n+m+1}{2}\) 根，然后尽可能地将剩下的木棍做无限制的切割，也就是全切成长度为 \(1\) 的木棍。显然这样做可以在保证条件一满足的情况下，最大化条件二满足的可能性，是最优解。判断剩下的木棍能操作多少次，可以直接用 剩下木棍的总长度-剩下木棍的数量 简单得到（证明略）。按照上述模拟，最后 check 总操作次数是否 \(\geq n + m\) 即可。具体实现见 code。

注意本题很卡常，在 check 内模拟切割木棍过程时尽量不要用 map 粗暴模拟，推荐先将切割过程中所有可能出现的长度数值离散化，做一些预处理后再用数组模拟，可以省去一个 \(\log\) 的复杂度。

复杂度分析：主要来自于模拟切割过程的复杂度 \(O(n\log^{2}(\max(A_{i})))\)

code