edu117 EG

E. Messages

考虑每个人对总期望值的贡献：设一共选了 \(a\) 条 message，集合用 \(S\) 表示。那么第 \(i\) 个学生 \((m_{i}, k_{i})\) 对期望的贡献 \(F_{i}\) ：

• \(m_{i} \notin S \rightarrow F_{i}=0\)。
• \(m_{i} \in S\)，\(k_{i} \geq a \rightarrow F_{i}=1\)
• \(m_{i} \in S\)，\(k_{i} < a \rightarrow F_{i}=\frac{C_{a-1}^{k_{i}-1}}{C_{a}^{k_{i}}} = \frac{k_{i}}{a}\)

考虑固定 \(a\)，如何分配这 \(a\) 条 message 可以使 \(\sum_{i=1}^{n} F_{i}\) 最大：由期望的独立性，在对期望求和时，我们可以将所有学生对总期望的贡献转化成每种 message 对总期望的贡献。于是，我们可以对每一种 message 计算其对答案的贡献，并贪心地取贡献值前 \(a\) 大的 message 作为方案。

复杂度分析：需要枚举 message 的数量 \(a \in [1,n]\)，每一种情况需要计算每名学生的 \(F_{i}\)，也是 \(O(n)\) 的，总复杂度至少是 \(O(n^{2})\)，肯定不行。考虑如何优化。

注意题目的特殊之处：\(k_{i} \leq 20\)。那么我们想：如果 \(a>20\)，那么所有 \(F_{i}\) 必然小于 \(1\)，也就意味着 每种 message 的总期望只与选择它的所有学生的 \(k_{i}\) 之和有关（因为分母 \(a\) 大于 \(\forall k_{i}\)，总贡献可以等价于分子）。若 \(a=21\)，则相当于需要新加入一种 message，对于原来所有的 message 的总期望会变为原来的 \(\frac{20}{21}\)；而我们选取 message 会按照其对总期望的贡献从大到小取，这里就会等价于按照其 \(k_{i}\) 的总和从大到小取，那么新加入的这种 message 的 \(k_{i}\) 之和一定 \(\leq\) 前 \(20\) 种 message 中的任意一种的 \(k_{i}\) 之和，进而新加入的这种 message 的 \(k_{i}\) 之和一定 \(\leq\) 前 \(20\) 种 message 的 \(k_{i}\) 之和的平均值，即使多了这份新贡献，由于分母的增大，此时的总贡献也一定不会超过 \(a=20\) 时的总贡献。\(a>21\) 时同理。于是，我们就可以只枚举 \(a\leq 20\) 的所有情况并取最优解，复杂度 \(O(20*n\log n)\)。

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G. Max Sum Array

待补。。。

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