10.31 —— (VP)2023icpc济南

这把打得中规中矩，前期一道签到题出得有点慢了；最后一道铜牌题关键思路是对的，但还是做法有问题超时了。

\(D\) 纯签到

\(J\)：每一次考虑排好一整个前缀，那么每次操作至少会让前缀长度加 \(2\)，只需要选择 当前已拼好前缀的后一个数 和 其后最右侧的比它小的数 做一次操作即可（手玩即可证明），这样最多只需要 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 次操作。

\(A\)：卡了很久的一道题，最后构造出了一组很强的样例，排查出了问题。具体思路见官解。

\(G\)：无解情况很好特判，只需要关注有解情况：对于 \(\forall j \in [1, \lfloor\frac{m}{2}\rfloor]\)，将第 \(j\) 列与第 \(m - j + 1\) 列分到一组，这两列中 \(1\) 的数量一定不能超过 \(2\)，否则无解；如果小于 \(2\)，那么这两列无论哪种方案都会满足要求，不需要考虑；那么就只需要看恰好有 \(2\) 个 \(1\) 的情况，显然最终每一列必须恰好有一个 \(1\)，那么根据初始时两个 \(1\) 是否在同一列，就可以知道含有这 \(2\) 个 \(1\) 的两行是必须都操作/不操作，还是必须只对某一行操作。于是我们可以用二分图染色解决这个问题：将每一行当作一个点，边权 \(0/1\) 分别代表两个端点是必须都操作/不操作，还是必须只对某一行操作。对于每个连通块，方案数只能是 \(0\) 或 \(2\)，取决于这个连通块内所有边是否均满足条件。所有连通块的方案数作乘法原理即为答案。注意特判 \(m\) 为奇数时中间一列的情况。

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K. Rainbow Subarray

关键要想到将等差数列的偏移量提前处理掉：先将所有的 \(a_{i}\) 减掉 \(i\)（设为 \(a'\)）。这样处理后就有一个重要的性质：将 \(a\) 中的一个子数组变成公差为 \(1\) 的等差数列，等价于将 \(a'\) 中的对应子数组变成全部相同的数（相当于操作后再将偏移量加回来）。这样，问题就变成了：现有最大操作次数 \(k\)，考虑所有子数组，求在最大操作次数以内可以变成全相同数的子数组的最大长度。

这个也是经典结论了 —— 都变成序列的中位数一定更优（长度为偶数，上中位数和下中位数之间的数都可以）。操作次数等价于求子数组后一半大 \(-\) 前一半大的值。

蒟蒻赛时写了二分+\(FHQ\)，复杂度带两个 \(\log\) 不出意外地 \(T\) 了。事实上二分可以写成双指针（因为在某个子数组中添加一个数，操作次数一定单调不减），通过滑动窗口的方式维护上述值，进而可以省掉一个 \(\log\) 通过。看来还是经验不足qwq。

使用 \(FHQ\)，当然是因为它强大的功能：既可以查询维护集合的第 \(k\) 大，也可以查询任何一个数在维护集合中的排名。结合这两个功能，就能够实时维护子树组内添加或者删除一个数时，子数组后一半大 \(-\) 前一半大的值。具体实现写得很麻烦，还要根据区间长度的奇偶性分类讨论，细节见代码。

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M. Almost Convex

我们有结论：当点集中不存在任意三点共线时，点集的凸包是唯一的。

若存在三点共线，则显然凸包不唯一；否则，形成的凸包中除了顶点外，其他点一定均“严格”在该凸包的内部（即不在边上），容易证明凸包是唯一的。

故我们只需要求 \(|Q| = |P| + 1\) 的所有近似凸多边形的数量。

Andrew 求出凸包后，我们考虑如何统计比凸包多一个点的情况。

由于本题凸包的唯一性，在脑海里想象该凸包的形态，可以发现：由点集中的点构成，但不包括该凸包所有顶点的任意多边形（假设不包含某个凸包顶点 \(P\)），该多边形一定不能包含点 \(P\)。因此，对于满足题述要求（包含点集内所有点）的任意多边形，必须包含凸包的所有顶点。

也就是说，在由 \(|P| + 1\) 个点构成的所有多边形中，只有 \(1\) 个点不是凸包顶点。于是，统计这样的多边形，我们就可以枚举这个顶点，与凸包中相邻的两个点（这样凸包中的点才能无损失）。尝试抠去凸包中由这三个点构成的三角形，进而得到一个包含 \(|P| + 1\) 个顶点，且包含点集内所有点的多边形。枚举这样的多边形是 \(O(n^{2})\) 的。如下图：

这样的多边形满足要求，当且仅当抠去的三角形内部不包含其他任何点。然而，我们并没有能 \(O(1)\) 直接判断某个给定三角形中是否包含点集内其他点 的 check 方式，只能通过枚举其他点是否在该三角形中来 check，这样的复杂度是 \(O(n^{3})\) 的，需要考虑优化。

考虑极角排序的性质。我们会发现：一个三角形内部无其他点，当且仅当在以三角形的某个顶点为中心，对其他所有点作极角排序后，另外两个三角形顶点的极角序相邻。

因此，每次在枚举凸包内部某个点时，我们可以将所有点按照该点作极角排序，然后再依次枚举凸包的每条边。此时这样的多边形是否可行，等价于两个顶点的极角序是否相邻，可以直接 \(O(1)\) 判断。总复杂度 \(O(n^{2}\log n)\)。

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