欧拉路，欧拉回路

求一个图的欧拉路：\(Hierholzer\) 算法

set<int> G[N];

vector<int> euler_path;
void dfs(int u){
    while(!G[u].empty()){
        int v = *G[u].begin();
        G[u].erase(v);
        G[v].erase(u);
        dfs(v);
    }
    euler_path.pb(u);
}

dfs(start); // 奇数度点数为0时，任意点均可；为2时，只能是两个端点

注意在有向图中，经上述算法求出的欧拉路是倒序的，需要 \(reverse\)；而无向图不存在反转的问题。

如果图的规模足够小，可以直接用邻接矩阵存图；由于涉及到删边，需要用 \(set\) 存图，而不能用 \(vector\)。

理解：深搜过程中，优先将无出边的点放入答案路径中，而无出边的点必然对应欧拉路的末尾，因此可以理解为存储的路径是原图倒序的欧拉路。

这种写法用 set 存图，复杂度会徒增一个 \(\log\)，但写法更简便；可以通过对边标编号和 \(vis\) 数组来优化复杂度。

de Bruijn序列模板题

Q：给定 \(n,k\)，构造一个只包含数字 \([0,k-1]\) 的序列，要求在长度最短的前提下字典序最小；考虑其所有连续子串，包含 \(k\) 进制下全部 \(n\) 位数字。\(n \leq 4，k \leq 10\)。

首先确定最短长度应该是多少：显然为 \(k^{n}+n-1\)，因为长度为 \(n\) 的 \(k\) 进制序列一共有 \(k^{n}\) 种，每种互不相同，因此至少要有 \(k^{n}\) 个不同的位置作为每一种的开头；而对于在末尾的开头位置，为了保证其序列共 \(n\) 位，至少还需要往末尾添加 \(n-1\) 个数字。因此，理论上的最小长度为 \(k^{n}+n-1\)，实际上也是如此。

而构建序列的过程，需要利用有向图的欧拉回路。

以 \(n=3,k=2\) 为例：

构建一个有向图：结点是所有 \(n-1\) 位 \(k\) 进制数的集合，总共 \(k^{n-1}\) 个结点，边权是 \(1\) 位 \(k\) 进制数的集合，总共 \(k\) 种出边；每个结点均有 \(k\) 条出边，两点间出边的定义类似于两数之间在 \(k\) 进制下循环左移一位后的结果，具体可见上图。

显然对于该有向图，每个结点的入度均等于出度（均为 \(k\)），且整个图强联通，因此必然可以对该图求出一条欧拉回路。

结论：对该有向图求出欧拉回路，起点 + 欧拉回路拼接形成的序列长度恰为 \(k^{n}+n-1\)，且一定满足要求 “考虑其所有连续子串，包含 \(k\) 进制下全部 \(n\) 位数字”。为满足其字典序最小，显然只需要让起点代表数字的字典序最小，即全 \(0\)。

具体实现见 code。

code

P10950

与上一道题的唯一区别在于构造的是循环序列。

只需要省略求出的欧拉回路的后 \(n-1\) 个数字即可，最小长度是 \(k^{n}\)。

证明：因为欧拉回路的起点代表数字是 \(n-1\) 个 \(0\)，由于是回路，终点也是该点。从有向边的定义可以看出来，欧拉回路的最后 \(n-1\) 个数字一定都是 \(0\)（\(n-1\) 次末尾补齐）。而起点也是 \(n-1\) 个 \(0\)，显然可以省略后面 \(n-1\) 个 \(0\)，使得序列仍然覆盖所有可能。

code

P3520

欧拉回路可以看作是若干个简单环路的组合。

将欧拉回路拆分成若干简单环路 trick —— 只需要稍稍改写 \(Hierholzer\) 算法。

Q：给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图（不一定连通），其中每条边只有 \(2\) 种可能的状态：\(0\) 或 \(1\)。\(0\) 代表不需要翻转，\(1\) 代表需要翻转。可以安排任意数量的垃圾车，每辆垃圾车必须经过一条简单环路（即简单环，只有首尾点相同，中途经过的若干点无重复），每次经过一条边时翻转该边的状态，要求所有边都达到其对应状态，给出任意一种合法方案。

首先给出结论：对于不需要翻转的边，可以直接删除；需要翻转的边只需要用一辆垃圾车经过该边。因为对于不需要翻转的边，只能有偶数辆垃圾车经过该边；而对于经过该边的所有不同的环，可以通过忽视该边将它们拼接成一个更大的环；需要翻转的边也是同理。本质上就是只要 \(2\) 个不同的环共享某一条边，那么就可以忽视该边，将两个环合并成一个环。

又一个结论：对于所有的连通块，若该连通块存在欧拉回路（即每个点的度数均为偶数），则有解，否则无解。因为经过上述将图处理后，剩下的每条边均需要翻转，且只能经过一次，显然是欧拉回路的特征。在求该连通块的欧拉回路（即 \(Hierholzer\) 算法）过程中，若重复经过了某个点，说明产生了环，处理出该环并分配一辆垃圾车即可。

具体实现见 code。

code