《高等代数》

p. 102 引理 设

\[\begin{align*}f(x)&=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n,\\ g(x)&=b_0x^m+b_1x^{n-1}+\cdots+b_m\end{align*}\]

是数域\(P\)上的两个非零的多项式, 它们的系数\(a_0,b_0\)不全为零. 于是\(f(x)\)与\(g(x)\)在\(P[x]\)中有非常数的公因式的充要条件是, 在\(P[x]\)中存在非零的次数小于\(m\)的多项式\(u(x)\)与次数小于\(n\)的多项式\(v(x)\), 使

\[u(x)f(x)=v(x)g(x). \]

证明 (\(\Leftarrow\)) 设\(\gcd(u,v)=1\), 不然可令\(u\gets u/\gcd(u,v),v\gets v/\gcd(u,v)\). 这时\(u\mid g,v\mid f\), 所以\(f/v=g/u=\gcd(f,g)\). 而\(v\)的次数小于\(n\), 所以\(\gcd(f,g)\)的次数大于\(0\).

(\(\Rightarrow\)) 令\(v=f/\gcd(f,g),u=g/\gcd(f,g)\).

p. 61 引理 行列式\(D\)的任意一个子式\(M\)与它的代数余子式\(A\)的乘积中的每一项都是行列式\(D\)的展开式中的一项, 而且符号也一致.

证明 设\(M\)的行指标为\(i_1,i_2,\ldots,i_k\), 列指标为\(j_1,j_2,\ldots,j_k\). 而我们只需确定\(MA\)中第一项的符号, 也就是把\(a_{i_1,j_1},a_{i_2,j_2},\ldots,a_{i_k,j_k}\)都按行一格一格换到对角线上的步数的奇偶性, 而步数为

\[\begin{align*}&|i_1-j_1|+|i_2-j_2|+\cdots+|i_k-j_k|\\ &\equiv i_1-j_1+i_2-j_2+\cdots+i_k-j_k\\ &\equiv i_1+j_1+i_2+j_2+\cdots+i_k+j_k\pmod2.\end{align*}\]