《高等数学》同济第八版下册

p. 82 11. 设函数\(f(x,y,z)\)满足\(f(tx,ty,tz)=t^nf(x,y,z)\) (\(t\)为任意实数), 则称函数\(f\)为\(n\)次齐次函数. 证明: \(n\)次齐次函数\(f\)满足关系式

\[xf_x+yf_y+zf_z=nf(x,y,z), \]

其中函数\(f\)具有一阶连续偏导数.

Proof.

\[\begin{align*} f(tx,ty,tz)&=t^nf(x,y,z)\\ tf_1'(tx,ty,tz)&=t^nf_1'(x,y,z)\\ f_1'(tx,ty,tz)&=t^{n-1}f_1'(x,y,z)\\ f_{1\cdots1}^{(n-k)}(tx,ty,tz)&=t^kf_{1\cdots1}^{(n-k)}(x,y,z)\tag{1}\\ \end{align*}\]

所以\(f_{1\cdots1}^{(n)}(tx,ty,tz)=f_{1\cdots1}^{(n)}(x,y,z)\). 由\(t\)的任意性,

\[f_{1\cdots1}^{(n)}(x,y,z)=a_n,\tag{2} \]

其中\(a_n\)为常数.

下面由数学归纳法证明\(f_{1\cdots1}^{(n-k)}(x,y,z)=a_{n-k}x^{k}+F_{n-k}(y,z)\), 其中\(F_{n}(y,z)\)不含常数项. \(k=0\)时, 由(2)等式成立. 下面先假设\(f_{1\cdots1}^{(n-k-1)}(x,y,z)=a_{n-k-1}x^{k-1}+F_{n-k-1}(y,z)\). 两边对\(x\)积分, 得\(f_{1\cdots1}^{(n-k)}(x,y,z)=a_{n-k-1}x^{k}/k+F_{n-k-1}(y,z)x+F_{n-k}(y,z)\). 由(1)可知\(F_{n-k-1}(y,z)=0\), 所以当令\(a_{n-k}=a_{n-k-1}/k\)时, \(f_{1\cdots1}^{(n-k)}(x,y,z)=a_{n-k}x^{k}+F_{n-k}(y,z)\). 数学归纳法完成.

所以\(f(x,y,z)=a_0x^n+F_0(y,z)\). 由对称性可得\(f(x,y,z)=a_0x^n+b_0y^n+c_0z^n\).

对这个式子求偏导, 即得结果.