尼科马库斯定理

内容

\[\sum_{i=1}^n i^3 = (\sum_{i=1}^n i)^2 \]

证明

\[\sum_{i=1}^n i^3 \]

\[= \sum_{i=1}^n \frac{(i^4-(i-1)^4+6i^2-4i+1)}{4} \]

\[= n^4 + \frac{1}{4} \sum_{i=1}^n (6i^2-4i+1) \]

\[= n^4 + \frac{3}{2} \sum_{i=1}^n i^2 - \sum_{i=1}^n i + \frac{n}{4} \]

\[= n^4 + \frac{3}{2} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} -\frac{n(n+1)}{2} +\frac{n}{4} \]

化简可得：

\[= (\frac{n(n+1)}{2})^2 \]

\[= (\sum_{i=1}^n i)^2 \]