多重背包问题

明天 2023 CSP 了，简单写写，以后在补吧。

题目描述

P1833 樱花

给你若干个物品，每个物品有体积 \(t_i\)，价值 \(c_i\)，每个物品可以拿 \(p_i\) 次。特别的，当 \(p_i=0\) 的时候，这个物品可以取无数次。

具体思路

solution 1：朴素背包

• 对于 \(p_i=0\) 的物品，我们可以看成一个完全背包。

• 对于 \(p_i \ne 0\) 的物品，我们可以在 01 背包的基础上多枚举一个 \(k\)，表示当前第 \(i\) 个物品取多少个。

时间复杂度：\(O(nv \max \limits_{i \in [1,n]} \{ p_i \})\)

Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+5,M=1e3+5,D=10;
int t[N],c[N],p[N],f[M];
char st[D],ed[D];
int get(int l,int r,char *s){
	int res=0;
	for(int i=l;i<=r;i++){
		res=res*10+(s[i]-'0');
	}
	return res;
}
int main(){
	int minx,secx,miny,secy,n,v;
	scanf("%s%s%d",st+1,ed+1,&n);
	for(int i=1;i<=strlen(st+1);i++){
		if(st[i]==':'){
			minx=get(1,i-1,st);
			secx=get(i+1,strlen(st+1),st);
		}
	}
	for(int i=1;i<=strlen(ed+1);i++){
		if(ed[i]==':'){
			miny=get(1,i-1,ed);
			secy=get(i+1,strlen(ed+1),ed);
		}
	}
	v=(miny*60+secy)-(minx*60+secx);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d%d",&t[i],&c[i],&p[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!p[i])
			for(int j=t[i];j<=v;j++)
				f[j]=max(f[j],f[j-t[i]]+c[i]);
		else
			for(int j=v;j>=t[i];j--)
				for(int k=1;k<=p[i];k++)
					if(j-k*t[i]>=0)
						f[j]=max(f[j],f[j-k*t[i]]+k*c[i]);
	}
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=v;i++){
		ans=max(ans,f[i]);
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

solution 2：二进制拆分（优化）

我们发现，上面枚举次数 \(k\) 的行为实际上是将第 \(i\) 个物品拆成 \(p_i\) 个次数为 \(1\) 的物品，每个物品体积和价值分别是 \(t_i,c_i\)。

但这样有可能会超时（上面的代码由于数据水所以也过了）。

因此我们发明了二进制拆分。

众所周知，任何一个数都可以用二进制来表示，那么我们现在将第 \(i\) 个物品拆成 \(\log p_i\) 个次数分别为 \(1,2,4,\ldots\) 的物品，每个物品的体积分别是 \(t_i,2t_i,4t_i,\ldots\)，价值分别为 \(c_i,2c_i,4c_i,\ldots\)。

那么对于完全背包，我们就不用管次数了，一直拆分直到 \(2^k t_i>v\)。

时间复杂度：\(O(nv \max \limits_{i \in [1,n]} \{ \log p_i \})\)

Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+5,M=1e6+5,D=10;
int t[N],c[N],p[N],f[M];
int a[M],w[M],cnt;
char st[D],ed[D];
int get(int l,int r,char *s){
	int res=0;
	for(int i=l;i<=r;i++){
		res=res*10+(s[i]-'0');
	}
	return res;
}
int main(){
	int minx,secx,miny,secy,n,v;
	scanf("%s%s%d",st+1,ed+1,&n);
	for(int i=1;i<=strlen(st+1);i++){
		if(st[i]==':'){
			minx=get(1,i-1,st);
			secx=get(i+1,strlen(st+1),st);
		}
	}
	for(int i=1;i<=strlen(ed+1);i++){
		if(ed[i]==':'){
			miny=get(1,i-1,ed);
			secy=get(i+1,strlen(ed+1),ed);
		}
	}
	v=(miny*60+secy)-(minx*60+secx);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d%d",&t[i],&c[i],&p[i]);
		if(p[i]){
			int k=0;
			while(p[i]>=(1<<k)){
				cnt++;
				a[cnt]=t[i]*(1<<k);
				w[cnt]=c[i]*(1<<k);
				p[i]=p[i]-(1<<k);
				k++;
			}
			if(p[i]){
				cnt++;
				a[cnt]=t[i]*p[i];
				w[cnt]=c[i]*p[i];
			}
		}
		else{
			int k=0;
			while(t[i]*(1<<k)<=v){
				cnt++;
				a[cnt]=t[i]*(1<<k);
				w[cnt]=c[i]*(1<<k); 
				k++;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		for(int j=v;j>=a[i];j--){
			f[j]=max(f[j],f[j-a[i]]+w[i]);
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=v;i++){
		ans=max(ans,f[i]);
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}