2-sat

萌新刚学 2-sat，写个题解练练手。

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2-sat

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首先的话，我个人理解的 2-sat 就是对于每个数只有 \(2\) 种取值的问题。

显然位运算的题，就是一个经典的 2-sat 的题，因为对于每个数都只有 \(0\) 和 \(1\) 两种选择。

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卡图难题

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具体思路

这里我以 卡图难题 这题为例。

那么我们将每个点 \(a_i\) 拆成 \(a_i\) 和 \(a_i+n\) 两个点，分别表示 \(a_i\) 的值为 \(0\) 和 \(a_i\) 的值为 \(1\)。

然后就是对于每种关系建边。

• \(a ~and~ b=0\)
  1. 若 \(a=0\)，那么 \(b\) 的取值是 \(0\) 或 \(1\) 都无所谓，因此 \(a=0\) 就不需要建边来保证关系。\(b=0\) 同理。
  2. 若 \(a=1\)，那么 \(b\) 的取值只能是 \(0\)，因此要连边 \(ins(a+n,b)\)。\(b=1\) 同理。
  3. \(ins(a+n,b),ins(b+n,a)\)。
• \(a ~and~ b=1\)
  1. 若 \(a=0\)，那么 \(b\) 的取值是 \(0\) 或 \(1\) 都无法成立，因此 \(a=0\) 的情况是无解的，连边 \(ins(a,a+n)\)。\(b=0\) 同理。
  2. 若 \(a=1\)，那么 \(b\) 的取值只能是 \(1\)，然而第一种情况保证了 \(b \ne 0\)，因此不需要连边。\(b=1\) 同理。
  3. \(ins(a,a+n),ins(b,b+n)\)。
• \(a ~or~ b=0\)
  1. 若 \(a=1\)，那么 \(b\) 的取值是 \(0\) 或 \(1\) 都无法成立，因此 \(a=1\) 的情况是无解的，连边 \(ins(a+n,a)\)。\(b=1\) 同理。
  2. 若 \(a=0\)，那么 \(b\) 的取值只能是 \(0\)，然而第一种情况保证了 \(b \ne 1\)，因此不需要连边。\(b=0\) 同理。
  3. \(ins(a+n,a),ins(b+n,b)\)。
• \(a ~or~ b=1\)
  1. 若 \(a=0\)，那么 \(b\) 的取值只能是 \(1\)，因此要连边 \(ins(a,b+n)\)。\(b=0\) 同理。
  2. 若 \(a=1\)，那么 \(b\) 的取值是 \(0\) 或 \(1\) 都无所谓，因此 \(a=1\) 就不需要建边来保证关系。\(b=1\) 同理。
  3. \(ins(a,b+n),ins(b,a+n)\)。
• \(a ~xor~ b=0\)
  1. 若 \(a=0\)，那么 \(b\) 的取值只能是 \(0\)，因此要连边 \(ins(a,b)\)。\(b=0\) 同理。
  2. 若 \(a=1\)，那么 \(b\) 的取值只能是 \(1\)，因此要连边 \(ins(a+n,b+n)\)。\(b=1\) 同理。
  3. \(ins(a,b),ins(b,a),ins(a+n,b+n),ins(b+n,a+n)\)。
• \(a ~xor~ b=1\)
  1. 若 \(a=0\)，那么 \(b\) 的取值只能是 \(1\)，因此要连边 \(ins(a,b+n)\)。\(b=0\) 同理。
  2. 若 \(a=1\)，那么 \(b\) 的取值只能是 \(0\)，因此要连边 \(ins(a+n,b)\)。\(b=1\) 同理。
  3. \(ins(a,b+n),ins(b,a+n),ins(a+n,b),ins(b+n,a)\)。

然后的话看有没有矛盾，即在图上跑一边 Tarjan，找出强连通分量，然后看有没有 \(a_i\) 和 \(a_i+n\) 同时在同一个强连通分量里面。

因为如果 \(a_i\) 和 \(a_i+n\) 同时在一个强连通分量中的话，那么 \(a_i\) 和 \(a_i+n\) 之间就可以互相到达，即 \(a_i\) 同时为 \(0\) 和 \(1\)，因此矛盾。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2100,M=4110000;
struct edge{int x,y,pre;}a[M];
int last[N],alen;
void ins(int x,int y){
	a[++alen]=edge{x,y,last[x]};
	last[x]=alen;
}
int dfn[N],low[N],v[N],id;
int top,sta[N];
int cnt,c[N];
void tarjan(int x){
	dfn[x]=low[x]=++id;v[x]=1;
	sta[++top]=x;
	for(int k=last[x];k;k=a[k].pre){
		int y=a[k].y;
		if(!dfn[y]){
			tarjan(y);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
		}
		else if(v[y]){
			low[x]=min(low[x],dfn[y]);
		}
	}
	if(dfn[x]==low[x]){
		cnt++;
		int y;
		do{
			y=sta[top--];
			v[y]=0;
			c[y]=cnt;
		}while(y!=x);
	}
}
int main(){
	int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int a,b,c;char op[10];
		scanf("%d%d%d%s",&a,&b,&c,op+1);
		if(op[1]=='A'){
			if(c==0)
				ins(a+n,b),ins(b+n,a);
			if(c==1)
				ins(a,a+n),ins(b,b+n);
		}
		if(op[1]=='O'){
			if(c==0)
				ins(a+n,a),ins(b+n,b);
			if(c==1)
				ins(a,b+n),ins(b,a+n);
		}
		if(op[1]=='X'){
			if(c==0)
				ins(a,b),ins(b,a),ins(a+n,b+n),ins(b+n,a+n);
			if(c==1)
				ins(a,b+n),ins(b,a+n),ins(a+n,b),ins(b+n,a);
		}
	}
	for(int i=1;i<=2*n;i++){
		if(!dfn[i])tarjan(i);
	}
	int bk=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(c[i]==c[i+n]){
			bk=1;
			break;
		}
	}
	if(!bk)puts("YES");
	else puts("NO");
	return 0;
}