线性基

学了两天才学明白线性基，太痛苦了！

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前置芝士：

1. 若 \(a \oplus b \oplus c=0\)，则 \(a \oplus b=c\)

2. 若 \(a \oplus b=c\)，则 \(a \oplus c=b\)

证明：

1. 由于 \(c \oplus c=0\)，则 \((a \oplus b)\oplus c=0=c \oplus c\)，因此 \(a \oplus b=c\)

2. 由于 \(a \oplus b=c\)，则 \((a \oplus b)\oplus c=c \oplus c\)，即 \(a \oplus b \oplus c=0\)，显然异或运算是满足交换律的，因此 \(a \oplus c \oplus b=0\)，由性质1得：\(a \oplus c=b\)

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线性基基本概念：

定义：给定数集 \(S\)，以异或运算张成的数集与 \(S\) 相同的极大线性无关集，称为原数集的一个线性基。

通俗地说，线性基是一个数的集合。每个序列都拥有至少一个线性基。取线性基中若干个数异或起来可以得到原序列中的任何一个数。

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线性基的性质：

性质1：

  原序列的任意一个数都可以由线性基内部的一些数异或得到。

性质2：

  线性基内部的任意数异或起来都不能得到 0。

性质3：

  线性基内部的数个数唯一；且在保持性质1的前提下，数的个数是最少的。

证明：（令线性基为 \(d\)）

性质2：（反证法）

假设 \(d_a \oplus d_b \oplus d_c=0\)，则 \(d_c=d_a \oplus d_b\)

由于 \(d_c\) 可以由 \(d_a\) 和 \(d_b\) 异或得到，因此 \(d_c\) 将不会被插入线性基。

假设不成立。

因此线性基内部的任意数异或起来都不能得到 \(0\)。

性质1：

若 \(x \in S\)，则 \(x\) 有不可以插入线性基和可以插入线性基两种情况。

1. 不可以插入线性基：由性质2得，\(x=d_a \oplus d_b \oplus d_c \oplus...\)，成立。

2. 可以插入线性基：令 \(x\) 是线性基中的第 \(i\) 位，则 \(x\)在插入前异或了线性基中的若干个数，那么 \(x \oplus d_a \oplus d_b \oplus d_c \oplus...=d_i\)，则 \(x=d_a \oplus d_b \oplus d_c \oplus...\oplus d_i\)，成立。

综上，原序列的任意一个数都可以由线性基内部的一些数异或得到。

性质3：

1. 若 \(S\) 中的所有元素都可以插入线性基：不管用什么顺序将序列里的数插入线性基，线性基中的元素一定与原序列元素数量相同，成立。

2. 若 \(S\) 中有部分元素不可以插入线性基：假设 \(x\) 不可以插入线性基，且 \(x \oplus d_a \oplus d_b \oplus d_c=0\)，那么 \(x=d_a \oplus d_b \oplus d_c\)，尝试将插入顺序改为 \(d_a,d_b,x,d_c\)，则 \(d_c=d_a \oplus d_b \oplus x\)，那么 \(d_c\) 将不会被插入线性基，那么线性基元素个数还是不变的。若去掉线性基里面的任一个数，都会使得原序列里的数无法通过用线性基里的元素异或得到，没有多余的元素。所以线性基的元素个数在保持性质一的前提下，一定是最少的。成立。

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线性基的基本操作：

插入：

令插入的数为 \(x\)，考虑 \(x\) 的二进制 \(1\) 最高位为 \(i\)，

若线性基的第 \(i\) 位为 \(0\)，则直接在该位插入 \(x\)，返回。

若线性基的第 \(i\) 位已经有值，就把 \(x\) 和其异或。

很容易想到，这样得出的线性基 \(d_i\) 的 \(1\) 最高位为 \(i\) 的异或和。

这样插入，可以得到线性基的异或和的值域与原数列的异或和值域相同。

时间复杂度：\(O(\log n)\)（\(n\) 为值域，下同）

void insert(LL x){
	for(int i=M;i>=0;i--){
		if(x&(1LL<<i)){
			if(!a[i]){a[i]=x;return;}
			else x^=a[i];
		}
	}
	flag=1;
	return;
}

求最大值：

如果当前的 \(ans\) 异或上 \(d_i\) 可以变得更大，那就用 \(ans \oplus d_i\) 来更新 \(ans\)。

时间复杂度：\(O(\log n)\)

LL mymax(){
    LL ans=0;
    for(int i=M;i>=0;i--)
        ans=max(ans,ans^a[i]);
    return ans;
}

求最小值：

线性基中最小的 \(d_i\) 就是答案，因为 \(d_i\) 最小，异或上线性基其他的数只会变得更大。

时间复杂度：\(O(\log n)\)

LL mymin(){
    if(flag)return 0;
    for(int i=0;i<=M;i++)
        if(a[i])return a[i];
}

查询 \(x\) 是否在值域中：

时间复杂度：\(O(\log n)\)

和插入操作一样。

bool check(LL x){
    for(int i=M;i>=0;i--)
        if(x&(1LL<<i))
            if(!a[i])return false;
            else x^=a[i];
    return true;
}

重构线性基：

原来线性基中的 \(d_i\) 的 \(0\)~\(i-1\) 位不一定都是 \(0\)，因此让 \(d_i\) 只有第 \(i\) 位是 \(1\)，其余都是 \(0\)，方便求第 \(k\) 小的值。

重构后的线性基：

0 ... 0 1
0 ... 1
...
0 1
1

原来的 \(d_i\) 最高位一定是 \(1\)，\(d_j\) 最高位一定是 \(1\)，如果 \(d_i\) 的第 \(j\) 位是 \(1\)，那 \(d_i \oplus d_j\) 后第 \(j\) 位的 \(1\) 就会变为 \(0\)。

void rebuild(){
	cnt=0;
	for(int i=0;i<=M;i++){
		for(int j=i-1;j>=0;j--){
			if(a[i]&(1LL<<j))a[i]^=a[j];
		}
		if(a[i])d[cnt++]=a[i];
	}
}

查询第 \(k\) 小的值：

重构线性基后，显然线性基可以表示出 \(2^{cnt}\) 个数，若 \(k\) 比 \(2^{cnt}\) 还大，那一定表示不了。

剩下的跟插入差不多。

时间复杂度：\(O(log^{2} n)\)（要重构线性基）

LL query(LL k){
	k-=flag;//减去0的情况
	if(!k)return 0;
	if(k>=(1LL<<cnt))return -1;//cnt是大了一位，可以取等号
	LL ans=0;
	for(int i=0;i<cnt;i++){
		if(k&(1LL<<i))ans^=d[i];
	}
	return ans;
}