变换求和顺序

先看两个基本的例子：

\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{i,j}=\sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n a_{i,j} \]

\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i a_{i,j}=\sum_{j=1}^n \sum_{i=j}^n a_{i,j} \]

第一个式子是单标限定，即枚举的 \(i,j\) 的集合互相不干扰。

例如：\(i \in [1,n],j \in [1,m]\)

那么变换它的顺序直接交换两个 \(\Sigma\) 即可。

第二个式子是双标限定，即先枚举的元素 \(i\) 会对后枚举的元素 \(j\) 的集合产生一定的干扰。

例如：\(i \in [1,n],j \in [1,i]\)

双标限定的交换方式为：入内求交，出外求并

1. 对于 \(j\) 而言，是由外变换到内，求并集，但 \(j\) 是在第二个 \(\Sigma\) 里，有 \(n\) 次限定，所以它的并集要求 \(n\) 次，即：\(j \in \bigcup_{i=1}^n [1,i]=[1,n]\)
2. 对于 \(i\) 而言，是由内变换到外，求交集，但 \(i\) 是在第一个 \(\Sigma\) 里，有 \(1\) 次限定，所以它的交集要求 \(1\) 次，即：\(i \in [1,n] \cap [j,n]=[j,n]\)

因此最终式子化为了：

\[\sum_{j=1}^n \sum_{i=j}^n a_{i,j} \]

最后上个小练习,化简：

\[\sum_{i=1}^n d(i)=\sum_{i=1}^n \sum_{d|i}1 \]

原式等于：

\[\sum_{i=1}^n \sum_{d=1}^i \left[d|i \right] \]

其中：\(i \in [1,n],d \in [1,i]\)

因此有：

\[\begin{cases}d \in \bigcup_{i=1}^n [1,i]=[1,n]\\i \in [1,n] \cap [d,n]=[d,n]\end{cases} \]

原式化为：

\[\sum_{d=1}^n \sum_{i=d}^n \left[d|i \right] \]

显然，\(d\) 到 \(n\) 里， \(d\) 的倍数有 \(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\) 个，原式最终为：

\[\sum_{d=1}^n \lfloor \frac{n}{d} \rfloor \]