08 2025 档案

摘要：定理 \(\forall S\in\binom{\{1,2,\dots,2n\}}{n+1}\)，\(\exist x,y\in S\) 满足 \(x<y\land x\mid y\)。 证明 设 \(T_m=\{2^km:k\in\N\}\)。易证 \(\forall x\in S\)，\(T_1 阅读全文

摘要：定理 \(\forall n,r,s\in\N\)，有 \[\binom{n}{r}\binom{r}{s}=\binom{n}{s}\binom{n-s}{r-s} \]证明 考虑计算 \(|\{\langle A,B\rangle:|A|=r\land|B|=s\land B\subseteq 阅读全文

摘要：定理（子集反演） 设两个关于集合的函数 \(f, g\) 满足 \[f(S)=\sum_{T\subseteq S}g(T) \]那么就有 \[g(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}f(T) \]证明 \[\begin{align} \sum_{T\subset 阅读全文

摘要：对于数论函数 \(f\)，记 \(S_f(n)=\sum_{k=1}^nf(k)\)。 记 \(R(n)=\{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor:d\in \mathbb{Z}^+\land d\le n\}\)。 引理 \[|R(n)|\le2\sqrt{n} \]证明 \(d\l 阅读全文