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Problem 1 Find the number of integer values of \(k\) in the closed interval \([-500,500]\) for which the equation \[\log(kx)=2\log(x+2) \]has exactly 阅读全文
posted @ 2025-10-20 02:53
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Problem 1 Find all the roots of equation \(2x-2.8=\lfloor x\rfloor\). Solution 1 \[\begin{align} 2x-2.8=\lfloor x\rfloor&\Longrightarrow x-1<2x-2.8\le 阅读全文
posted @ 2025-09-24 07:43
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Problem 1 (2013 PUMaC, Number Theory Problem 2) Find the smallest \(n\) such that \(2013^n\) ends in \(001\). Solution 1 It is easy to prove that the 阅读全文
posted @ 2025-09-23 20:33
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定理 \(\forall S\in\binom{\{1,2,\dots,2n\}}{n+1}\)，\(\exist x,y\in S\) 满足 \(x<y\land x\mid y\)。 证明 设 \(T_m=\{2^km:k\in\N\}\)。易证 \(\forall x\in S\)，\(T_1 阅读全文
posted @ 2025-08-15 20:53
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定理 \(\forall n,r,s\in\N\)，有 \[\binom{n}{r}\binom{r}{s}=\binom{n}{s}\binom{n-s}{r-s} \]证明 考虑计算 \(|\{\langle A,B\rangle:|A|=r\land|B|=s\land B\subseteq 阅读全文
posted @ 2025-08-13 22:55
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定理（子集反演） 设两个关于集合的函数 \(f, g\) 满足 \[f(S)=\sum_{T\subseteq S}g(T) \]那么就有 \[g(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}f(T) \]证明 \[\begin{align} \sum_{T\subset 阅读全文
posted @ 2025-08-05 14:47
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对于数论函数 \(f\)，记 \(S_f(n)=\sum_{k=1}^nf(k)\)。 记 \(R(n)=\{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor:d\in \mathbb{Z}^+\land d\le n\}\)。 引理 \[|R(n)|\le2\sqrt{n} \]证明 \(d\l 阅读全文
posted @ 2025-08-03 01:41
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思路来自柳宏谦。 设顶点集 \(V = \{\langle x, y \rangle : x \in \{1, 2, \dots, 8\} \land y \in \{1, 2, \dots, 8\}\}\)，边集 \(E = \{ \{ \langle x_0, y_0 \rangle, \lan 阅读全文
posted @ 2025-07-13 23:28
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