鸽巢

定理

\(\forall S\in\binom{\{1,2,\dots,2n\}}{n+1}\)，\(\exist x,y\in S\) 满足 \(x<y\land x\mid y\)。

证明

设 \(T_m=\{2^km:k\in\N\}\)。易证 \(\forall x\in S\)，\(T_1,T_3,\dots,T_{2n-1}\) 这 \(n\) 个集合中恰有一个集合包含 \(x\)。应用鸽巢原理得到 \(\exist x,y\in S\)，满足 \(x<y\) 且 \(x\) 和 \(y\) 被划分到同一个集合中。易证 \(x\mid y\)。

定理

\(\forall p\in S_{mn+1}\)，必存在一个长度 \(m+1\) 的上升子序列或者一个长度 \(n+1\) 的下降子序列。

证明

设 \(f_i\) 为以 \(p_i\) 结尾的最长上升子序列长度，\(g_i\) 为以 \(p_i\) 结尾的最长下降子序列长度。

引理

\[\forall i<j, f_i<f_j\lor g_i<g_j \]

证明

若 \(p_i<p_j\)，有 \(f_i< f_j\)。若 \(p_i>p_j\)，有 \(g_i<g_j\)。

若 \(f_i\le m,g_i\le n\)，应用鸽巢原理得到 \(\exist i<j,f_i=f_j\land g_i=g_j\)，由引理有存在 \(f_i>m\) 或者 \(g_i>n\)。

定理

任取两个可重集 \(A=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}, B=\{b_1,b_2,\dots,b_n\}\)，其中元素都是 \(1\) 到 \(n\) 的整数，那么 \(\exist A'\subseteq A,B'\subseteq B\) 满足 \(\sum_{x\in A'}x=\sum_{x\in B'}x\)。

证明

令 \(\alpha_m=\sum_{i=1}^ma_i, \beta_m=\sum_{i=1}^mb_i\)。不失一般性地，设 \(\alpha_n\le\beta_n\)。

令 \(f_i\) 为满足 \(\alpha_i\ge\beta_{f_i}\) 的最大整数。令 \(\delta_i=\alpha_i-\beta_{f_i}\)。若 \(\delta_i\ge n\)，那么 \(\delta_i-b_{f_i+1}\ge0\)，即 \(\alpha_i\ge\beta_{f_i+1}\)，故 \(\delta_i<n\)。应用鸽巢原理得到 \(\exist i<j,\delta_i=\delta_j\)。易证取 \(A'=\{a_{i+1},a_{i+2},\dots,a_j\},B'=\{b_{f_i+1},b_{f_i+2},\dots,b_{f_j}\}\) 时 \(\sum_{x\in A'}x=\sum_{x\in B'}x\)。

定理

任取无向图 \(G=\langle V,E\rangle\)，每个边有一个两两不同的实数权值。那么 \(G\) 存在一条长度为 \(\frac{2|E|}{|V|}\) 的单调上升路径。

证明

在每个顶点上放一个「探险家」。依边权递增序枚举每条边，交换两个顶点上的「探险家」。易证每个「探险家」对应的路径都是一条单调上升路径。「探险家」的路径长度之和为 \(2|E|\)，应用鸽巢原理得到存在一个「探险家」对应的路径长度不小于 \(\frac{2|E|}{|V|}\)。

定理

任取 \(n\) 个非空区间 \([l_1,r_1],[l_2,r_2],\dots,[l_n,r_n]\)，满足 \(\bigcup_{i=1}^n[l_i,r_i]=[0,1]\)。

令

\[f(I)=\int_0^1[\sum_{i\in I}[x\in[l_i,r_i]]=1]{\rm d}x \]

那么 \(\exist I\subseteq\{1,2,\dots,n\},f(I)\ge\frac{2}{3}\)。

证明

令 \(I=\{1,2,\dots,n\}\)，重复以下过程：若 \(i\) 满足 \(\forall x\in[l_i,r_i],\exist j\in I\setminus\{i\},x\in[l_j,r_j]\)，从 \(I\) 中删去 \(i\)。

设此时 \(I=\{i_1,i_2,\dots,i_{|I|}\}\)。不失一般性地，设 \(l_{i_j}\le l_{i_{j+1}}\)。

易证此时有 \(\bigcup_{i\in I}[l_i,r_i]=[0,1]\)，并且 \(\forall1<j<|I|,r_{i_{j-1}}<l_{i_{j+1}}\)。

令 \(I_0=\{i_j:1\le j\le|I|\land j\equiv1\pmod2\},I_1=I\setminus I_0\)，那么就有 \(f(I)+f(I_0)+f(I_1)=2\)。应用鸽笼原理得到 \(\exist I'\in\{I,I_0,I_1\},f(I')\ge\frac{2}{3}\)。