矩阵连乘 动态规划

矩阵连乘 动态规划

题目分析

题目描述：给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2 ,…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。例如：

　　A1={30x35} ; A2={35x15} ;A3={15x5} ;A4={5x10} ;A5={10x20} ;A6={20x25} ;

最后的结果为：((A1(A2A3))((A4A5)A6))  最小的乘次为15125。

　　解题思路：能用动态规划的一个性质就是最优子结构性质，也就是说计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子琏A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。动态规划算法解此问题，可依据其递归式以自底向上的方式进行计算（即先从最小的开始计算）。在计算过程中，保存已解决的子问题答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。我们可以根据下面这个公式来计算结果。其中p[i-1]表示的是第i个矩阵的行数,p[k]表示i:k矩阵合起来后最后得到的列数，p[j]是k+1:j合起来后得到的列数。这个部分的计算方法其实就是计算两个矩阵相乘时总共的乘次数，自己琢磨琢磨就明白了。

• 递推公式
  

• 计算过程
  

代码实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX 100


int matrix_chain(int *p, int n, int **m, int **s)
{
	//m[][]最小乘次数
	//s[][]最小乘数时的断开点
	int i, j, r, k;

	for (i = 0; i < n; i++)   //单一矩阵的最小乘次都置为0
	{
		m[i][i] = 0;
	}

	for (r = 2; r <= n; r++)  //r为连乘矩阵的个数
	{
		for (i = 0; i <= n - r; i++)   //i表示连乘矩阵中的第一个
		{
			j = i + r - 1;         //j表示连乘矩阵中的最后一个
			m[i][j] = 99999;
			for (k = i; k <= j - 1; k++)  //在第一个与最后一个之间寻找最合适的断开点，注意，这是从i开始，即要先计算两个单独矩阵相乘的乘次
			{
				int tmp = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i] * p[k + 1] * p[j + 1];
				if (tmp < m[i][j])
				{
					m[i][j] = tmp;
					s[i][j] = k;
				}
			}
		}
	}
	return m[0][n - 1];
}

void print_chain(int i, int j, char **a, int **s)
{    //递归的方式来把最小乘数的表达式输出

	if (i == j)
	{
		printf("%s", a[i]);
	}
	else
	{
		printf("(");
		print_chain(i, s[i][j], a, s);
		print_chain(s[i][j] + 1, j, a, s);
		printf(")");
	}
}

int main()
{
	//min_part[i][j]存储的是i+1到j+1的最小乘次，因为是从0开始
	//min_point[i][j]存储的是i+1到j+1之间最小乘次时的分割点
	int *p, **min_part, **min_point;
	char **a;
	int n = 6, i;
	int ret;

	p = (int *)malloc((n + 1)*sizeof(int));
	a = (char **)malloc(n*sizeof(char*));
	min_part = (int **)malloc(n*sizeof(int *));
	min_point = (int **)malloc(n*sizeof(int *));

	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		min_part[i] = (int *)malloc(n*sizeof(int));
		min_point[i] = (int *)malloc(n*sizeof(int));
		a[i] = (char *)malloc(n*sizeof(char));
	}

	p[0] = 30;   //第一个矩阵的行数
	p[1] = 35;     //第二个矩阵的行数
	p[2] = 15;     //……
	p[3] = 5;     //……    
	p[4] = 10;     //……
	p[5] = 20;     //第六个矩阵的行数
	p[6] = 25;     //第六个矩阵的列数

	a[0] = "A1";
	a[1] = "A2";
	a[2] = "A3";
	a[3] = "A4";
	a[4] = "A5";
	a[5] = "A6";

	ret = matrix_chain(p, n, min_part, min_point);
	printf("Minest times:%d.\n", ret);
	print_chain(0, n - 1, a, min_point);

	free(p);
	free(min_part);
	free(min_point);
	free(a);

	return 0;
}

Reference

• 0010算法笔记——【动态规划】矩阵连乘问题