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最小二乘法及C语言实现

      我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢? 监督学习中,如果预测的变量是离散的,我们称其为分类(如决策树,支持向量机等),如果预测的变量是连续的,我们称其为回归。回归分析中,如果只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线;对于三维空间线性是一个平面,对于多维空间线性是一个超平面...

   对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值(X1,Y1),(X2,Y2), …,(Xn,Yn)。对于平面中的这n个点,可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看,这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为:使总的拟合误差(即总残差)达到最小。有以下三个标准可以选择:

        (1)用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
        (2)用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。
        (3)最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外,得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

  最常用的是普通最小二乘法( Ordinary  Least Square,OLS):所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。(Q为残差平方和)- 即采用平方损失函数。

  样本回归模型:

                                     其中ei为样本(Xi, Yi)的误差

   平方损失函数:

                      

   则通过Q最小确定这条直线,即确定,以为变量,把它们看作是Q的函数,就变成了一个求极值的问题,可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数:

                       

    根据数学知识我们知道,函数的极值点为偏导为0的点。

    解得:

                   

 

这就是最小二乘法的解法,就是求得平方损失函数的极值点。

    LeastSquare(const vector<double>& x, const vector<double>& y)  
    {  
        double t1=0, t2=0, t3=0, t4=0;  
        for(int i=0; i<x.size(); ++i)  
        {  
            t1 += x[i]*x[i];  
            t2 += x[i];  
            t3 += x[i]*y[i];  
            t4 += y[i];  
        }  
        a = (t3*x.size() - t2*t4) / (t1*x.size() - t2*t2);  // 求得β1   
        b = (t1*t4 - t2*t3) / (t1*x.size() - t2*t2);        // 求得β2  
    }  

最小二乘法 
    设经验 
方程是y=F(x),方程中含有一些待定系数an,给出真实值{(xi,yi)|i=1,2,...n},将这些x,y值代入方程然后作 
差,可以描述误差:yi-F(xi),为了考虑整体的误差,可以取平方和,之所以要平方是考虑到误差可正可负直接相加可以相互抵消,所以记误差为:

e=∑(yi-F(xi))^2

    它是一个多元函数,有an共n个未知量,现在要求的是最小值。所以必然满足对各变量的偏导等于0,于是得到n个方程:

de/da1=0 
de/da2=0 
... 
de/dan=0

n个方程确定n个未知量为常量是理论上可以解出来的。用这种误差分析的方法进行回归方程的方法就是最小二乘法。

线性回归 
如果经验方程是线性的,形如y=ax+b,就是线性回归。按上面的分析,误差函数为:

e=∑(yi-axi-b)^2

各偏导为:

de/da=2∑(yi-axi-b)xi=0 
de/db=-2∑(yi-axi-b)=0

于是得到关于a,b的线性方程组:

(∑xi^2)a+(∑xi)b=∑yixi 
(∑xi)a+nb=∑yi

设A=∑xi^2,B=∑xi,C=∑yixi,D=∑yi,则方程化为:

Aa+Bb=C 
Ba+nb=D

解出a,b得:

a=(Cn-BD)/(An-BB) 
b=(AD-CB)/(An-BB)
 

#include  <stdlib.h> 
#include  <iostream> 
#include  <valarray> 
using namespace std; 
int main(int argc, char *argv[]) 
{ 
    int num = 0; 
    cout << " Input how many numbers you want to calculate:"; 
    cin >> num; 
    valarray<double> data_x(num); 
    valarray<double> data_y(num); 
    while( num ) 
    { 
        cout << "Input the "<< num <<" of x:"; 
        cin >> data_x[num-1]; 
        cout << "Input the "<< num <<" of y:"; 
        cin >> data_y[num-1]; 
        num--; 
    } 
    double A =0.0; 
    double B =0.0; 
    double C =0.0; 
    double D =0.0; 
    A = (data_x*data_x).sum(); 
    B = data_x.sum(); 
    C = (data_x*data_y).sum(); 
    D = data_y.sum(); 
    double k,b,tmp =0; 
    if(tmp=(A*data_x.size()-B*B)) 
    { 
        k = (C*data_x.size()-B*D)/tmp; 
        b = (A*D-C*B)/tmp; 
    } 
    else 
    { 
        k=1; 
        b=0; 
    } 
    cout <<"k="<<k<<endl; 
    cout <<"b="<<b<<endl; 
    return 0; 
} 

 

C/C++基本语法学习 STL C++ primer
posted @ 2016-10-21 19:34  ranjiewen  阅读(10674)  评论(0编辑  收藏  举报