1.17 模拟赛总结

\(t2\) 复杂度分析错误，后 \(1h\) 因做出两道题松懈。

如果感觉因理解题意超过 \(15min\) 应该最后处理这道题。

题目复杂度的分析不能想当然。

记数题多在纸上推式子。

如果做的特别顺，那别人做的也特别顺，切忌后场松懈。

t1

不记。

t2

给定长度为 \(n\) 的序列，\(a_i \in\)\([1,n]\)，求从中选取 \(6\) 个数，满足能将其划分成 \(4\) 个部分，各部分和相等的方案数。

\(1 \leq n \leq 5 \times 10^3\)。

注意到，划分只有两种 \(a_1,a_2,a_3,a_4+a_5+a_6\) 或者 \(a_1,a_2,a_3+a_4,a_5+a_6\)，并且这两种划分互不重复。

然后发现单元素部分和其余部分无交，所以可以分别考虑。

第一种划分等价于询问从原序列中选出三个数之和等于 \(a_1\) 的方案数，可以 \(O(nV)\) 背包。

第二种划分，可以枚举 \(a_3 \lt a_4,a_5 \lt a_6\)，然后钦定 \(a_3 \lt a_5\)，特判 \((a_3 = a_5,a_4 = a_6)\)，\((a_3 \lt a_5 = a_6 \lt a_4)\)，\((a_3 = a_4 = a_5 = a_6)\)，其中 \(a_3 \lt a_5\) 的限制可以前缀和。

时间复杂度 \(O(n^2)\)。

前缀和优化。

t3

给定 \(n\) 个矩形，求从中随机选择 \(k\) 个矩形的面积并的期望。

\(1 \leq n \leq 2.5 \times 10^3\)。

先容斥，将矩形并变成矩形交。

现在要求随机选择 \(i\) 个矩形的面积交的期望。

对每个单位矩阵考虑，你可以求出它被覆盖的次数 \(t\)，那么如果随机选择 \(i\) 个矩形，这个单位矩形产生贡献的方案数就是 \(\binom{t}{i}\)。

时间复杂度 \(O(n^2)\)。

容斥，交换枚举对象（求随机选择 \(i\) 个矩形的面积，转化为每一块能对若干选择产生怎样的贡献，本原因是本质不同的被计数对象是 \(O(n^2)\) 的）。

t4

给定 \(n\) 个节点的带点权树和长度为 \(m\) 的序列，每次询问序列中一个区间内所有点到给定点的路径并的点权最大值。

合并两个点集的等价于分别从两个点集中任取两点将其路径加入点集。

所以线段树即可。

求虚树并：任意排序后相邻两点路径并。