关于反射容斥

骗你的。

本文术语运用可能不规范，轻喷。

\(\text{Part 0}\)

Q：只能向右或向上走，从 \((0, 0)\) 走到 \((n, m)\) 有多少种方案？

A：\(\binom{n + m}{n}\)。小学奥数，不讲。

\(\text{Part 1}\)

Q：跟上面一样，但要求路径不能与直线 \(y = x + b\) 相交。

A：考虑 \((n, m)\) 关于此直线的对称点 \((p, q)\)，让我们画个图。

我们可以观察到，每一条不符合条件的路径与所有 \((0, 0)\) 走到 \((p, q)\) 的路径构成了一个双射。

则答案为 \(\binom{n + m}{n} - \binom{p + q}{p}\)。

\(\text{Part 2}\)

Q：跟上面一样，但同时要求路径不能与另外一条直线 \(y = x + b'\) 相交。

A：将路径表示成跟两条直线相交的点的有序序列，如 \(AABBA\)。发现与某一条直线连续相交没有什么影响，则将其转化成 \(ABA\) 的形式。

对于 \(S\) 为路径序列的子序列的答案 \(f(S)\)，类似于上面的推导，将 \((n, m)\) 按照这个序列的顺序对称若干次，每一次对称将 \((n, m)\) 和另外一条线同时关于当前的线对称，设对称完之后的点是 \((p, q)\)，则答案就是 \(\binom{p + q}{p}\)（需要保证 \((p, q)\) 没有飞到其他象限）。

类似于这样（以 \(AB\) 改的）：

其中蓝点是初始点 \((n, m)\)，紫点是最终点 \((p, q)\)。从图中可以路径 \(L1\) 和 \(L2\) 是一对映射，\(L2\) 和 \(L3\) 是一对映射，则 \(L1\) 和 \(L3\) 也是一堆映射，一个 \((0, 0)\) 到 \((p, q)\) 的路径恰好对应一个 \(AB\) 的方案。

这样的话，我们考虑容斥，则答案为 \(∅ - f(A) - f(B) + f(AB) + f(BA) - \dots\)，复杂度可以看作 \(\mathcal{O}(n + m)\)。

这就是反射容斥。

\(\text{Part 3.}\) 例题

因为取值范围是 \([0, m]\)，而有 \(m\) 列，则设 \(dp_{i, j}\) 为第 \(i\) 行没有出现 \(j\) 的方案数，则转移易知为 \(dp_{i, j} = \sum\limits_{k = 0}^{j + 1} dp_{i - 1, k} = dp_{i, j - 1} + dp_{i - 1, j + 1}\)。

把它的转移路径画出来（偷个图）：