勒让德公式（Legendre 公式）

参考链接：https://oi.wiki/math/number-theory/factorial/#legendre-公式

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在正整数 \(n!\) 的质因数分解中，质数 \(p\) 的指数（即 \(n!\) 能被 \(p\) 整除的最高次数，记为 \(v_p(n!)\)）可以通过以下公式计算：

\[v_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor \]

其中 \(\lfloor x \rfloor\) 表示向下取整（不超过 \(x\) 的最大整数）。因为当 \(p^k > n\) 时各项均为 0，所以这是一个有限项求和。

变体（进制表达）

Legendre 公式还可以写作

\[v_p(n!) = \frac{n - S_p(n)}{p - 1} \]

其中 \(S_p(n)\) 是将 \(n\) 写成 \(p\) 进制时各位数字的和。

经典应用

常用于计算“\(100!\) 的末尾有几个零”（实际是求 \(v_5(100!)\) 的值）。

例题：洛谷P10495 阶乘分解

题目链接

示例程序（包含了上述两种 Legendre公式 的实现）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int maxn = 1e6 + 5;

bool isp[maxn];
vector<int> primes;

void init(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!isp[i]) {
            primes.push_back(i);
        }
        for (auto &j : primes) {
            if (i * j > n) break;
            isp[i * j] = true;
            if (i % j == 0) break;
        }
    }
}

int n;

int legendre_1(int n, int p) {
    int res = 0;
    for (ll t = p; t <= n; t *= p)
        res += n / t;
    return res;
}

int s(int n, int p) {
    int res = 0;
    for (; n; n /= p)
        res += n % p;
    return res;
}

int legendre_2(int n, int p) {
    return (n - s(n, p)) / (p - 1);
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    init(n);
    for (auto &p : primes) {
        int ans = legendre_1(n, p);
        assert(ans == legendre_2(n, p));
        printf("%d %d\n", p, ans);
    }
    return 0;
}