莫比乌斯反演的2+1种形式

莫比乌斯函数 \(\mu(n)\)

这是反演的核心工具，它的定义如下：

• \(\mu(1) = 1\)
• \(\mu(n) = (-1)^k\)：如果 \(n\) 是 \(k\) 个互不相同的质数的乘积。
• \(\mu(n) = 0\)：如果 \(n\) 含有平方因子（即某个质因子的平方能整除 \(n\)）。

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莫比乌斯反演主要有两种核心形式，它们互为“对偶”关系：

1. 倍数形式（最常用）

这是数论中处理约数、公约数问题（如 GCD）时最常见的形式。

• 若： \(g(n) = \sum_{d|n} f(d)\)
• 则： \(f(n) = \sum_{d|n} \mu(d) g(\frac{n}{d})\)

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2. 约数形式

这种形式常见于函数分块求和或解决具有“倍数关系”的组合计数问题。

• 若： \(g(n) = \sum_{n|d, d \le N} f(d)\)
• 则： \(f(n) = \sum_{n|d, d \le N} \mu(\frac{d}{n}) g(d)\)

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3. 狄利克雷卷积形式（本质定义）

从更高层级的代数角度看，莫比乌斯反演可以概括为一个简洁的公式：

• 公式： \(f = g * \mu \iff g = f * 1\)
• 这里的 \(*\) 代表狄利克雷卷积，\(\mu\) 是莫比乌斯函数，\(1\) 是恒等函数。

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💡 核心提示

• \(\mu\) 函数：只有在平方因子数为 0 时才非零。
• 应用技巧：在竞赛中，通常先设法写出 \(g(n)\)（容易求出的和），再利用反演求出 \(f(n)\)。