欧拉函数

欧拉函数（Euler's totient function），通常用希腊字母 \(\varphi(n)\) 表示，是数论中一个非常重要的函数。

核心定义

对于正整数 \(n\)，欧拉函数 \(\varphi(n)\) 是指：在小于或等于 \(n\) 的正整数中，与 \(n\) 互质（最大公约数为 1）的数的个数。

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举例说明

以 \(n = 6\) 为例：

• 小于等于 6 的正整数有：1, 2, 3, 4, 5, 6。
• 与 6 互质的数有：1 和 5（因为 \(gcd(1,6)=1\)，\(gcd(5,6)=1\)）。
• 数量共 2 个，所以 \(\varphi(6) = 2\)。

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计算公式

如果你知道 \(n\) 的质因数分解形式 \(n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\)，可以使用通用公式：

\[\varphi(n) = n \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{p_k}\right) \]

📍 常用特性：

• 质数： 如果 \(n\) 是质数，那么 \(\varphi(n) = n - 1\)。
• 积性函数： 如果 \(m\) 和 \(n\) 互质，那么 \(\varphi(m \cdot n) = \varphi(m) \cdot \varphi(n)\)。

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为什么它很重要？

• 欧拉定理： 若 \(a\) 与 \(n\) 互质，则 \(a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n\)。这是数论的基石。
• 现代加密： 它是 RSA 加密算法 的核心原理，没有它，现在的网络支付和数据安全将难以实现。

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线性筛求欧拉函数的原理：

我们知道，线性筛的过程中，每个合数都是用它的最小的质因数筛掉的。不妨设这个合数是 \(a \cdot b\)，而它的最小的质因数是 \(a\)，则：

如果 \(a \mid b\)（\(b\) 中还含有至少一个因数 \(a\)），则 \(b\) 和 \(a \cdot b\) 包含的质因数是相同的，即：

• \(\varphi(a \cdot b) = a \cdot b \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{p_k}\right)\)
• \(\varphi(b) = b \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{p_k}\right)\)

此时，\(\varphi(a \cdot b) = a \cdot \varphi(b)\)

如果 \(a \nmid b\)，则 \(a \cdot b\) 比 \(b\) 多了一个质因子 \(a\)，即：

• \(\varphi(b) = b \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{p_k}\right)\)
• \(\varphi(a \cdot b) = a \cdot b \left( 1 - \frac{1}{a} \right) \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{p_k}\right) = a \left( 1 - \frac{1}{a} \right) \varphi(b) = (a - 1) \varphi(b)\)