洛谷P5169 xtq 的异或和 题解 线性基+FWT

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P5169

暴力解法就是：线性基，然后对于每次询问的 \(x\)，枚举 \((u,v)\) 对，跑一遍线性基就是否存在连接 \(u - v\) 的异或和为 \(x\) 的路径。时间复杂度 \(O(q \cdot n^2 \cdot 18)\)。很明显会超时。

按时很明显这样会超时。

以下是两种 AC 的解法。

• 解法1：线性基 + FWT + 并查集 （这是我一开始的解法）
• 解法2：线性基 + 2次FWT（更帅！）

解法1：线性基 + FWT + 并查集

1. 路径性质转换：利用异或和的性质，任意两点间路径的异或和可表示为“树上唯一路径异或和”再异或上若干个“环的异或和”。
2. 提取基底：通过 DFS 找出所有环，用线性基 a[] 维护这些环的异或贡献。
3. 统计初步点对：利用 FWT 计算卷积 c[] * c[]，求出仅通过树边时，异或和为 \(x\) 的点对数量（即满足 \(dis[u] \oplus dis[v] = x\) 的 \((u, v)\) 数量）。
4. 并查集合并：重点在于这步。由于线性基中的环可以任意组合，如果点对 \((u, v)\) 的基础异或和为 \(x\)，那么它可以通过异或环得到 \(x \oplus \text{linear\_basis\_elements}\)。你使用并查集将能互相转化的异或值合并，并将对应的点对数量累加到根节点。
5. 查询：直接输出对应并查集根节点的统计值。

示例程序：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long mod = 998244353;
const int maxn = 1e5 + 5;

int n, m, Q, a[18], dis[maxn];
long long c[(1<<18) + 5];
bool vis[maxn];
struct Edge {
    int v, w;
};
vector<Edge> g[maxn];

void add(int x) {
    for (int i = 17; i >= 0; i--) {
        if ((x >> i) & 1) {
            if (!a[i]) {
                a[i] = x;
                return;
            }
            x ^= a[i];
        }
    }
}

void dfs(int u, int sum) {
    vis[u] = true;
    dis[u] = sum;
    for (auto &[v, w] : g[u]) {
        if (!vis[v])
            dfs(v, sum ^ w);
        else {
            int tmp = dis[u] ^ dis[v] ^ w;
            if (tmp) {
                add(tmp);
            }
        }
    }
}

int cal(int x) {
    for (int i = 17; i >= 0; i--) {
        if (a[i])
            x = min(x, x ^ a[i]);
    }
    return x;
}

void fwt(long long a[], int step) { // 1:顺变换; 2:逆变换
    for (int x = 2; x <= (1<<18); x <<= 1) {
        int k = x >> 1;
        for (int i = 0; i < (1<<18); i += x) {
            for (int j = 0; j < k; j++) {
                long long s1 = a[i+j], s2 = a[i+j+k];
                a[i+j] = s1 + s2;
                a[i+j+k] = s1 - s2;
                if (step == 2) {
                    a[i+j] /= 2;
                    a[i+j+k] /= 2;
                }
            }
        }
    }
}

struct DSU {
    int f[(1<<18)+5];
    long long sz[(1<<18)+5];

    void init() {
        for (int i = 0; i < (1<<18); i++) {
            f[i] = -1;
            sz[i] = c[i];
        }
    }

    int find(int x) {
        return (f[x] == -1) ? x : f[x] = find(f[x]);
    }

    void funion(int x, int y) {
        int a = find(x), b = find(y);
        if (a != b) {
            f[b] = a;
            sz[a] += sz[b];
        }
    }

} dsu;

void solve() {
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        c[ dis[i] ]++;

    // 0特殊处理
    long long zero = 0;
    for (int i = 0; i < (1<<18); i++)
        zero += c[i] * (c[i] - 1);

    fwt(c, 1);
    for (int i = 0; i < (1<<18); i++)
        c[i] *= c[i];
    fwt(c, 2);
    c[0] = zero + n;

    dsu.init();
    for (int x = 0; x < (1<<18); x++) {
        for (int i = 17; i >= 0; i--) {
            dsu.funion(x, x ^ a[i]);
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &Q);
    for (int i = 0, u, v, w; i < m; i++) {
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        g[u].push_back({v, w});
        g[v].push_back({u, w});
    }
    dfs(1, 0);
    solve();
    for (int i = 0, x; i < Q; i++) {
        scanf("%d", &x);
        long long ans = dsu.sz[ dsu.find(x) ] % mod;
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}

解法2：线性基 + FWT（不需要并查集）

第二种解法能炫酷，直接两次 FWT 解决。

核心思路来自 Memory_of_winter大佬的博客

这段代码更“帅”，因为它将原本需要并查集维护的集合逻辑，巧妙地转化为了两次 FWT 卷积。
简要分析如下：

二次卷积逻辑：

• 核心原理：一个点对 \((u, v)\) 关于 \(x\) 是巧妙的，当且仅当存在一个线性基能表出的值 \(k\)，使得 \(dist(u, v) \oplus k = x\)。这等价于 \(dist(u, v) \oplus x = k\)。
• 实现：将第一步得到的路径分布 c[] 与线性基指示函数 d[] 再次进行 异或卷积。卷积后的 c[x] 即为所有满足 \(dist(u, v) \oplus k = x\) 的组合数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long mod = 998244353;
const int maxn = 1e5 + 5;

int n, m, Q, a[18], dis[maxn];
long long c[(1<<18) + 5], d[(1<<18) + 5];
bool vis[maxn];
struct Edge {
    int v, w;
};
vector<Edge> g[maxn];

void add(int x) {
    for (int i = 17; i >= 0; i--) {
        if ((x >> i) & 1) {
            if (!a[i]) {
                a[i] = x;
                return;
            }
            x ^= a[i];
        }
    }
}

void dfs(int u, int sum) {
    vis[u] = true;
    dis[u] = sum;
    for (auto &[v, w] : g[u]) {
        if (!vis[v])
            dfs(v, sum ^ w);
        else {
            int tmp = dis[u] ^ dis[v] ^ w;
            if (tmp) {
                add(tmp);
            }
        }
    }
}

int cal(int x) {
    for (int i = 17; i >= 0; i--) {
        if (a[i])
            x = min(x, x ^ a[i]);
    }
    return x;
}

void fwt(long long a[], int step) { // 1:顺变换; 2:逆变换
    for (int x = 2; x <= (1<<18); x <<= 1) {
        int k = x >> 1;
        for (int i = 0; i < (1<<18); i += x) {
            for (int j = 0; j < k; j++) {
                long long s1 = a[i+j], s2 = a[i+j+k];
                a[i+j] = s1 + s2;
                a[i+j+k] = s1 - s2;
                if (step == 2) {
                    a[i+j] /= 2;
                    a[i+j+k] /= 2;
                }
            }
        }
    }
}

void solve() {
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        c[ dis[i] ]++;

    // 0特殊处理
    long long zero = 0;
    for (int i = 0; i < (1<<18); i++)
        zero += c[i] * (c[i] - 1);

    fwt(c, 1);
    for (int i = 0; i < (1<<18); i++)
        c[i] *= c[i];
    fwt(c, 2);
    c[0] = zero + n;

    for (int x = 0; x < (1<<18); x++) {
        int y = x;
        for (int i = 17; i >= 0; i--)
            y = min(y, y ^ a[i]);
        d[x] = !y;
    }

    fwt(c, 1);
    fwt(d, 1);
    for (int i = 0; i < (1<<18); i++)
        c[i] *= d[i];
    fwt(c, 2);
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &Q);
    for (int i = 0, u, v, w; i < m; i++) {
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        g[u].push_back({v, w});
        g[v].push_back({u, w});
    }
    dfs(1, 0);
    solve();
    for (int i = 0, x; i < Q; i++) {
        scanf("%d", &x);
        long long ans = c[x] % mod;
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}