欧拉数 Eulerian number

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这里的 欧拉数 特指 Eulerian number．注意与 Euler number，以及 Euler's number（指与欧拉相关的数学常数例如 \(\gamma\) 或 \(\mathrm{e}\)）作区分。

定义 欧拉数

\[A(n, m) = \left\langle \begin{matrix} n \\ m \end{matrix} \right\rangle \]

它表示 \(1 \sim n\) 构成的所有排列 \(p\) 中恰好有 \(m\) 个下标 \(i\) 满足 \(1 \le i \le n-1\) 且 \(p_i \lt p_{i+1}\) 的排列 \(p\) 的个数。

欧拉数的递推式：

\[A(n, m) = \begin{cases} 0, & m > n \text{ or } n = 0, \\ 1, & m = 0, \\ (n-m) \cdot A(n-1, m-1) + (m+1) \cdot A(n-1, m), & \text{otherwise}. \end{cases}\]