P6478 [NOI Online #2 提高组] 游戏 题解 二项式反演 + 树上背包

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P6478

解题思路完全来自 GaryH大佬的博客

注意：

由于 \(f_{1, i}\) 表示钦定了 \(i\) 对，但是剩余的 \(\frac{n}{2} - i\) 对可以任意组合，所以

\(f_{1, i}\) 还得乘上 \((\frac{n}{2} - i)!\)。

示例程序：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long mod = 998244353;
const int maxn = 5005;

void add(long long &a, long long b) {
    a = (a + b % mod + mod) % mod;
}

int n, c[maxn], sz[maxn][2], mx[maxn]; // mx[u] : 最多能匹配多少对
long long f[maxn][maxn/2], tmp[maxn], fac[maxn] = { 1 };
char s[maxn];
vector<int> g[maxn];

struct Binom {
    int c[maxn/2][maxn/2];

    void init() {
        for (int i = 0; i <= n/2; i++) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                if (j == 0 || j == i)
                    c[i][j] = 1;
                else
                    c[i][j] = (c[i-1][j-1] + c[i-1][j]) % mod;
            }
        }
    }

} binom;

void dfs(int u, int p) {
    sz[u][ c[u] ] = 1;
    f[u][0] = 1;
    for (auto v : g[u]) {
        if (v != p) {
            dfs(v, u);

            int num1 = mx[u], num2 = mx[v];

            fill(tmp, tmp+num1+num2+2, 0);

            for (int i = 0; i <= num1; i++)
                for (int j = 0; j <= num2; j++)
                    add(tmp[i+j], f[u][i] * f[v][j]);

            copy(tmp, tmp+num1+num2+2, f[u]);

            sz[u][0] += sz[v][0];
            sz[u][1] += sz[v][1];
            mx[u] += mx[v];
        }
    }

    for (int i = mx[u] + 1; i > 0; i--) {
        int cnt = sz[u][ 1 - c[u] ] - (i - 1);
        if (cnt > 0) {
            add(f[u][i], f[u][i-1] * cnt);
            if (i == mx[u] + 1 && f[u][i])
                mx[u]++;
        }
    }

}

int main() {
    scanf("%d%s", &n, s+1);
    binom.init();
    for (int i = 1; i <= n/2; i++)
        fac[i] = fac[i-1] * i % mod;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        c[i] = s[i] - '0';
    for (int i = 1, u, v; i < n; i++) {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    dfs(1, 0);
    for (int i = 0; i <= n/2; i++) {
        f[1][i] = f[1][i] * fac[n/2-i] % mod;
    }
    for (int k = 0; k <= n/2; k++) {
        long long ans = 0;
        for (int i = k, flag = 1; i <= n/2; i++, flag = -flag) {
            long long tmp = binom.c[i][k] * f[1][i] % mod;
            add(ans, flag * tmp);
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}