化学方程式配平（第33次CCF计算机软件能力认证 第3题）题解 高斯消元

题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/5724/

前置练习：P3389 【模板】高斯消元法

解题思路：

首先根据字符串构造矩阵。

假设构造的是一个 \(n \times m\) 的矩阵。

很明显，秩最大是 \(\min(n,m)\)。

要求 秩 \(\lt m\) 时输出 Y，秩 \(= m\) 时输出 N（秩 不可能大于 \(m\)）。

所以，当 \(n \lt m\) 时，秩（\(\min(n,m)\)）肯定小于 \(m\)，直接输出 Y 即可。

当 \(n \ge m\) 时，我们调 高斯消元 模板即可（只不过只需要考虑前 \(m\) 行）。

处理到第 \(i\) 行时，如果第 \(i \sim n\) 列全为 \(0\)，则这一行 无解 或 无数解。秩减小 \(1\)。\(\Rightarrow\) 本来每一行都有解是秩为 \(m\)，现在秩减小 \(1\) 最大也是 \(m-1\) 了，秩肯定小于 \(m\)，可以确定 Y。

如果最终算出来的秩为 \(m\)，则输出 NO。

示例程序：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps = 1e-5;

int T, n, m;
double a[45][45];
map<string, int> mp[45];
set<string> st;

void init() {
    for (int i = 1; i <= 40; i++) {
        mp[i].clear();
        fill(a[i]+1, a[i]+41, 0);
    }
    st.clear();
    n = 0;
}

void cal(string &s, int p) {
    for (int i = 0; i < s.size(); ) {
        string tmp;
        int cnt = 0;
        while (isalpha(s[i]))
            tmp += s[i++];
        while (i < s.size() && isdigit(s[i])) {
            cnt = cnt * 10 + s[i] - '0';
            i++;
        }
        mp[p][tmp] = cnt;
        st.insert(tmp);
    }
}

bool gauss(int n, int m) {
    if (n < m)
        return true;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int p = -1;
        for (int j = i; j <= n; j++) {
            if (abs(a[j][i]) > eps) {
                p = j;
                break;
            }
        }
        if (p == -1)
            return true;
        if (p != i) { // 交换第i行和第p行第 i..n 列的元素
            for (int j = i; j <= m; j++)
                swap(a[i][j], a[p][j]);
        }
        for (int j = m; j >= i; j--)
            a[i][j] /= a[i][i];
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (j == i || abs(a[j][i]) < eps)
                continue;
            double bei = a[j][i];
            for (int k = i; k <= m; k++) // 将a[j][i..n] = 0
                a[j][k] -= bei * a[i][k];
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    cin >> T;
    while (T--) {
        init();
        cin >> m;
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            string s;
            cin >> s;
            cal(s, i);
        }
        for (auto &s : st) {
            n++;
            for (int i = 1; i <= m; i++) {
                a[n][i] = mp[i][s];
            }
        }
        if (gauss(n, m))
            cout << "Y" << endl;
        else
            cout << "N" << endl;
    }
    return 0;
}