老鼠与毒药 二进制经典问题

问题描述

有 \(1000\) 个酒瓶，其中一个瓶子里装着有毒的酒，如果老鼠喝了有毒的酒一小时就会死掉。给你一小时至少需要多少只老鼠才能找出哪个瓶子里有毒？

解题思路

要在一小时内用最少的老鼠找出1000个酒瓶中的毒酒，可利用二进制编码的思想。每个老鼠的生死状态（存活为0，死亡为1）对应二进制位，通过组合不同位的状态唯一标识一个酒瓶。

核心思路：二进制编码映射酒瓶

1. 二进制位数计算
   设需要 \(n\) 只老鼠，每只老鼠对应一个二进制位（共 \(n\) 位）。
   \(n\) 位二进制数能表示的最大数为 \(2^n - 1\)，需满足 \(2^n \geq 1000\)。
   计算得：

   • \(2^9 = 512\)（不足）
   • \(2^{10} = 1024\)（满足）
     因此，至少需要10只老鼠。

2. 具体操作步骤

   • 给酒瓶编号：将1000个酒瓶从 \(1\) 到 \(1000\) 编号，转换为10位二进制数（不足10位前补0）。
     例如：
     • 酒瓶1：0000000001
     • 酒瓶512：1000000000
     • 酒瓶1000：1111101000
   • 给老鼠分配二进制位：将10只老鼠分别对应二进制数的第1位到第10位（从右到左或从左到右均可，需统一规则）。
   • 喂酒规则：对于每个酒瓶的二进制编码，若某一位为 1，则让对应的老鼠喝该瓶酒；若为 0，则不喝。
     例如，酒瓶1000的二进制为 1111101000，则第10、9、8、7、6、4位对应的老鼠需喝该酒。
   • 观察结果：一小时后，记录死亡老鼠的位置（死亡为 1，存活为 0），组合成10位二进制数，其对应的十进制数即为毒酒瓶编号。

举例验证

• 假设毒酒瓶是第5号，二进制为 0000000101。
  • 第1位和第3位对应的老鼠喝了该酒，其他老鼠未喝。
  • 结果：第1、3位老鼠死亡，组合为 0000000101，对应十进制5，成功定位毒酒。

结论

通过二进制编码，10只老鼠即可在一小时内唯一确定1000个酒瓶中的毒酒。该方法利用了二进制的高效编码特性，每只老鼠的生死状态等价于一位二进制信息，最终通过组合所有位的信息定位目标。