CF675D Tree Construction 题解 splay tree/set

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/CF675D

题目大意：

\(n\) 个节点，权值各不相同，依次插入一棵初始为空的 BST 中。

求对于第 \(2 \sim n\) 个插入的节点，它们的父节点的权值。

解题思路：

本题解决的最重要的思路是：

因为是 BST，所以它的中序遍历肯定是单调的，所以对于任意一个节点 \(u\)，因为在插入它的时候它没有左二子，也没有右儿子，所以如果它是父节点的左二子，则父节点必然是它中序遍历里面后一个节点；如果它是父节点的右儿子，则父节点必然是它中序遍历里面前一个节点。

并且还可以发现：

如果上述两个点都存在，则父节点是后插入的节点。

等价于：父节点是从如下两点中找一个：

• 权值比它小的节点里面权值最大的节点；
• 权值比它大的节点里面权值最小的节点。

所以可以用 std::set 解决这个问题（参照 官方题解）。

我的解法是使用 splay tree，每次插入一个节点 \(x\)，就把它splay到根节点，然后：

• 找到权值比根节点小的节点里面权值最大的节点并splay到根节点的左儿子
• 找到权值比根节点大的节点里面权值最小的节点并splay到根节点的右儿子

可以发现，节点编号越大，越后插入。根据这些性质编写程序如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;

struct Node {
    int s[2], p, v;
    Node() {}
    Node(int _v, int _p) { s[0] = s[1] = 0; v = _v; p = _p; }
} tr[maxn];
int root, idx;

void push_up(int x) {
    // 这题不需要push up任何信息
}

void f_s(int p, int u, bool k) {
    tr[p].s[k] = u;
    tr[u].p = p;
}

void rot(int x) {
    int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
    bool k = tr[y].s[1] == x;
    f_s(z, x, tr[z].s[1]==y);
    f_s(y, tr[x].s[k^1], k);
    f_s(x, y, k^1);
    push_up(y), push_up(x);
}

void splay(int x, int k) {
    while (tr[x].p != k) {
        int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
        if (z != k)
            (tr[y].s[1]==x) ^ (tr[z].s[1]==y) ? rot(x) : rot(y);
        rot(x);
    }
    if (!k) root = x;
}

void ins(int v) {
    int u = root, p = 0;
    while (u) {
        p = u, u = tr[u].s[v > tr[u].v];
    }
    tr[u = ++idx] = Node(v, p);
    if (p) tr[p].s[v > tr[p].v] = u;
    splay(u, 0);
}

int n, v;

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &v);
        ins(v);
        if (i > 1) {
            if (tr[root].s[0]) {
                int u = tr[root].s[0];
                while (tr[u].s[1]) u = tr[u].s[1];
                splay(u, root);
            }
            if (tr[root].s[1]) {
                int u = tr[root].s[1];
                while (tr[u].s[0]) u = tr[u].s[0];
                splay(u, root);
            }
            printf("%d ", tr[max(tr[root].s[0], tr[root].s[1])].v);
        }
    }
    return 0;
}