一本通1258.数字金字塔 题解 动态规划

题目链接：http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1258

题目大意：

给你一个数字金字塔，每次可以从当前点走到左下方或右下方的点。查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。

解题思路：

设 \(a_{i,j}\) 表示数字金字塔上第 \(i\) 行从左往右数第 \(j\) 个点，则我们的目的就是从 \(a_{1,1}\) 走到第 \(n\) 行的 \(a_{n,i}\)（此处 \(i\) 可能是 \(1 \sim n\) 范围内的任何一个点）。

很明显这道题目可以用动态规划（DP）求解，但是根据求解的方向不同，对应的状态也不相同。

这里，我们可以以两种思路来解决这个问题：

• 第1种思路：自顶向下（从上往下推）；
• 第2种思路：自底向上（从下往上推）。

下面，我们来依次分析两种思路。

自顶向下（从上往下推）

定义状态 \(f_{i,j}\) 表示从 \(a_{1,1}\) 走到 \(a_{i,j}\) 的所有路径数字和的最大值。则，可以推导出状态转移方程为：

• 当 \(i =1\) 时（\(i=1\) 时只有一个状态 \(f_{1,1}\)），\(f_{1,1} = a_{1,1}\)；
• 当 \(i \gt 1\) 时，
  • 当 \(j = 1\) 时，\(f_{i,1} = f{i-1,1} + a_{i,1}\)（最左边的点只能从右上方走过来）；
  • 当 \(j = i\) 时，\(f_{i,i} = f{i-1,i-1} + a_{i,i}\)（最右边的点只能从左上方走过来）；
  • 当 \(1 \lt j \lt i\) 时，\(f_{i,j} = \max\{f_{i-1,j-1}f_{i-1,j}\} + a_{i,j}\)（中间的点可以选择从左上角或右上角的点走过来，所以选择两者的较大值）

令 \(i = 1 \rightarrow n\) 的顺序推导出所有的 \(f_{i,j}\)，则最终的答案就是：

• \(f_{n,1}\)（从 \(a_{1,1}\) 走到 \(a_{n,1}\) 的最大数字和）、
• \(f_{n,2}\)（从 \(a_{1,1}\) 走到 \(a_{n,2}\) 的最大数字和）、
• \(f_{n,3}\)（从 \(a_{1,1}\) 走到 \(a_{n,3}\) 的最大数字和）、
• …… ……
• \(f_{n,n}\)（从 \(a_{1,1}\) 走到 \(a_{n,n}\) 的最大数字和）

的最大值，即答案为 \(\max\{ f_{n,i} \}\)（其中 \(i \in [1,n]\)）

说明：\(\in\) 是“属于”符号，\(i \in [1,n]\) 表示 \(i\) 属于 \([1,n]\) 范围内，即 \(i\) 是 \(1\) 到 \(n\) 范围内（包括 \(1\) 和 \(n\)）的一个整数。

按照自顶向下实现的代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
int n, a[maxn][maxn], f[maxn][maxn], ans;
int main()
{
    scanf("%d", &n);    // 虽然题目里用R表示行的数量，但是我还是比较习惯用n表示行数
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= i; j ++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            if (i == 1) f[i][j] = a[i][j];
            else if (j == 1) f[i][j] = f[i-1][j] + a[i][j];
            else if (j == i) f[i][j] = f[i-1][j-1] + a[i][j];
            else f[i][j] = max(f[i-1][j-1], f[i-1][j]) + a[i][j];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        ans = max(ans, f[n][i]);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

自底向上（从下往上推）

从第 \(1\) 行的格子（\(a_{1,1}\)）走到第 \(n\) 行的路径的最大数字和，等价于从第 \(n\) 行选一个点作为起点从下往上走到 \(a_{1,1}\) 的路径最大数字和。所以我们可以把问题看成从下往上走找一条最大路径的数字和。

那么我们可以定义状态 \(f_{i,j}\) 表示：从第 \(n\) 行找一个点作为起点走到 \(a_{i,j}\) 的路径的最大数字和，则可以推导出转台转移方程为：

• 当 \(i = n\) 时，\(f_{i,j} = a_{i,j}\)（因为时最下面一行，起点出发能够得到的数字就是本身）；
• 当 \(i \lt n\) 时，\(f_{i,j} = \max\{ f_{i+1,j} , f_{i+1,j+1} \} + a_{i,j}\)。

注意这里要按照 \(i = n \rightarrow 1\) 的方向推导出所有的状态。

则最终的状态为 \(f_{1,1}\)（因为从小往上推的话，所有路径对应的重点只有一个就是 \(a_{1,1}\)）。

按照自底向上实现的代码如下（可以发现，按照这种方法实现的代码更简洁一些）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
int n, a[maxn][maxn], f[maxn][maxn];
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= i; j ++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    for (int i = n; i >= 1; i --)
    {
        for (int j = 1; j <= i; j ++)
        {
            if (i == n) f[i][j] = a[i][j];
            else f[i][j] = max(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + a[i][j];
        }
    }
    printf("%d\n", f[1][1]);
    return 0;
}