洛谷P1002 过河卒 题解 动态规划

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1002

题目大意

棋盘上\(A\)点有一个过河卒，需要走到目标\(B\)点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上CC点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。

棋盘用坐标表示，\(A\)点\((0, 0)\)、\(B\)点\((n, m)\)(\(n\), \(m\)为不超过\(20\)的整数)，同样马的位置坐标是需要给出的。

现在要求你计算出卒从\(A\)点能够到达\(B\)点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。

输入格式

一行四个数据，分别表示\(B\)点坐标和马的坐标。

输出格式

一个数据，表示所有的路径条数。

样例输入1

6 6 3 3

样例输出1

6

题解

首先，不难看出，这是一道 动态规划 问题。
我们可以令 \(f[i][j]\) 表示从 \((0,0)\)（左上方的点）走到 \((i,j)\) （第\(i\)行第\(j\)列）的方案数。
那么，在不考虑马的存在的时候，可以得到状态转移方程如下：

• 如果 \(i=0\) 且 \(j=0\) ，则 \(f[i][j] = 1\)；
• 否则，如果 \(i=0\) ，则 \(f[i][j] = f[i][j-1]\)；
• 否则，如果 \(j=0\) ，则 \(f[i][j] = f[i-1][j]\)；
• 否则，\(f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]\)。

但是，这里有马的存在，左移在上述条件的基础上，我们必须先进行一步判断（并且这一步判断还是必须放在最前面的）：

• 如果 \((i,j)\) 处于马的公鸡范围内，则 \(f[i][j] = 0\)。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m, x, y;
long long f[22][22];
int main() {
    cin >> n >> m >> x >> y;
    for (int i = 0; i <= n; i ++) {
        for (int j = 0; j <= m; j ++) {
            if (abs(x-i)==2 && abs(y-j)==1 || abs(x-i)==1 && abs(y-j)==2 || x==i && y==j) f[i][j] = 0;
            else if (i==0 && j==0) f[i][j] = 1;
            else if (i==0) f[i][j] = f[i][j-1];
            else if (j==0) f[i][j] = f[i-1][j];
            else f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1];
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}