数据结构

序列操作

单点加，前缀和查询：

树状数组直接维护即可。

区间加，单点查询：

设原数组为 $a[i]$ ，并更新一个数组 $c[i]$ $=$ $a[i]$ $-$ $a[i$ $-$ $1]$即为差分数组；

每次区间 $(l,$ $r)$ $+$ $x$ 直接$c[l]$ $+$ $x$，c[r + 1] - x即可；

最后求第i个数的答案就是 $∑$ $c[i]$。

区间加，前缀和查询：

设原数组为a[i]，同样

树链加，单点查询（处理节点）：

用树上差分进行解决；

设 $d[i]$ 表示第 $i$ 个节点到根节点 $root$ 的修改量，只记录修改量，相当于树的差分数组；

假设将 $u$ 到 $v$ 的路径上的点都加上 $a$，并且满足条件 $u$ 是 $v$ 的祖先或 $v$ 是 $u$ 的祖先，那么便可以像正常差分一样 $d[u]$ $+=$ $a$，$d[fa[v]]$ $-=$ $a$。

对于更新一个不一定有祖先关系的树链 $(u,$ $v)$ ，即希望将 $u$ 到 $v$ 的路径上都加上 $a$ ，怎么求呢？

如图所示，希望更改路径 $(u,$ $v)$ 上的点权，那么只需进行一下操作：

• $d[u]$ $+=$ $a$；
• $d[v]$ $+=$ $a$；
• $d[lca(u,$ $v)]$ $-=$ $a$；
• $d[fa[lca(u,$ $v)]]$ $-=$ $a$；

证明图中可以很清晰的看出来。

如果要查询一个点的修改量，那么很容易得出这个点的修改量就是它的子树的 $d[i]$ 之和，树状数组直接维护即可（转化成 $dfs$ 序）。

如果要查询一个子树的修改量之和，那么就是 $∑$ $∑$ $d[j]$ （其中 $j$ 是 $i$ 的子孙， $i$ 是当前查询的子树的根 $u$ 的子孙）；

经过化简后可以得出就是 $∑$ $d[i]$ $*$ $(depth[i]$ $-$ $depth[u]$ $+$ $1)$ （其中 $i$ 是 $u$ 的子孙， $depth[i]$ 表示 $i$ 的深度）；

再进行转化后可以得出就是 $(∑$ $d[i]$ $*$ $depth[i])$ $-$ $((depth[u]$ $-$ $1)$ $*$ $(∑$ $d[i]))$；

然后用树状数组维护 $∑$ $d[i]$ $*$ $depth[i]$ 和 $∑$ $d[i]$ 即可。