算法笔记 - 2-SAT

概述

（挂个定义）

SAT 是适定性 (Satisfiability) 问题的简称。一般形式为 k - 适定性问题，简称 k-SAT。而当 k>2 时该问题为 NP 完全的。所以我们只研究 k=2 的情况。
2-SAT，简单的说就是给出 n 个集合，每个集合有两个元素，已知若干个 <a,b>，表示 a 与 b 矛盾（其中 a 与 b 属于不同的集合）。然后从每个集合选择一个元素，判断能否一共选 n 个两两不矛盾的元素。显然可能有多种选择方案，一般题中只需要求出一种即可。

求解

模板题

有 \(n\) 个布尔变量 \(x_1\sim x_n\)，另有 \(m\) 个需要满足的条件，每个条件的形式都是 「\(x_i\) 为 true / false 或 \(x_j\) 为 true / false」。比如 「\(x_1\) 为真或 \(x_3\) 为假」、「\(x_7\) 为假或 \(x_2\) 为假」。

我们以下称每个变量的某种取值（或者说一种方案）为文字，连有向边的逻辑关系是 \(\boldsymbol{蕴含}\) ，或者说 \(\boldsymbol{意味着}\) 。（也可以理解为命题的条件和结论）
将 \(x_i=1\) 的文字记作 \(x_i\) , 将 \(x_i=0\) 的文字记作 \(\neg x_i\) 。
\((u, v)\) 表示一条从 \(u\) 连向 \(v\) 的有向边。

举个例子， 限制 \(x_1 = true\) \(\vee\) \(x_2 = false\) 就可以通过 \((\neg x_1,\neg x_2)\) , \(x_2, x_1\) 来刻画。
表示：如果 \(x_1 = false\) ，那么意味着 \(x_2 = false\) 同样成立；如果 \(x_2 = true\) ，那么意味着 \(x_1 = true\) 同样成立。

现在来说明解法，按照如上含义建出有向图后缩强联通分量 （可以通过 Tarjan 或 Kosaraju ）。
如果 \(x_i\) 和 \(\neg x_i\) 属于同一个 \(SCC\) ，那么不合法，否则，取拓扑序更大的文字作为方案。
在 \(Tarjan\) 中，编号是倒序的拓扑序，而在 \(Kosaraju\) 算法中，编号直接就是拓扑序。

证明

首先，必要性是显然的。
下面来考虑这种方式为什么一定不会构造出不合法的方案。
首先一个文字本身不会出现矛盾，下面来反证一个文字不会导致另一个文字矛盾。
不妨设我们最终选择了 \(a\), \(b\) 两个文字，记 \(d\) 表示拓扑序，则 \(d_a > d_{\neg a}\) , \(d_b > d_{\neg b}\) ，如果不合法，则 \(a\) 可以到达 \(\neg b\) ， \(d_{\neg b} > d_a\) 同时，观察以上的连边，如果按照命题的方式理解，那么一个命题成立，它的逆否命题也一定成立，所以， \(b\) 一定也可以到达 \(\neg a\) ， \(d_{\neg a} > d_b\) 。
整理上述式子得到 \(d_a > d_{\neg a} > d_b > d_{\neg b} > d_a\) ，即 \(d_a > d_a\) ，矛盾，所以上述方法构造出的方案合法。

并且发现，只有连边时保证一个命题成立，那么它的逆否命题也一定成立，算法才是正确的。

例题

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