傅里叶级数

　　傅里叶（Fourier）级数是三角级数（每项都是三角函数）的一种。因为项数无限，且其中任意两个不同函数项之积在$[-\pi,\pi]$上的积分为0，所以可以作为希尔伯特空间的一个正交系。傅里叶级数可以拟合很多周期函数。

三角函数系的正交性

　　三角函数系

$1,\cos x,\sin x,\cos 2x, \sin 2x,...,\cos nx, \sin nx,...$

　　在区间$[-\pi,\pi]$上正交，即：

$\begin{align*} &\int_{-\pi}^{\pi}\cos nxdx = 0 \;(n=1,2,3,...)\\ &\int_{-\pi}^{\pi}\sin nxdx = 0  \;(n=1,2,3,...)\\&\int_{-\pi}^{\pi}\sin kx\cos nx dx = 0  \; (k,n=1,2,3,...)\\&\int_{-\pi}^{\pi}\cos kx\cos nx dx = 0 \;(k,n=1,2,3,...,k\ne n)\\&\int_{-\pi}^{\pi}\sin kx\sin nx dx = 0 \;(k,n=1,2,3,...,k\ne n) \end{align*}$

　　证明第3项：

$\displaystyle  \int_{\pi}^{\pi}\sin kx \cos nx dx=  \int_{\pi}^{\pi}\frac{1}{2}[\sin (k-n)x + sin(k+n)x]dx$

　　因为

$\displaystyle \int_{\pi}^{\pi}\sin ax dx$

　　$a=0$时积分为$0$，$a\ne 0$时：

$\displaystyle \int_{\pi}^{\pi}\sin ax dx=\left.-\frac{1}{a}\cos ax\right|_{-\pi}^{\pi}=0$

　　因此第三项为$0$，得证。

函数展开为傅里叶级数

　　设$f(x)$是周期为$2\pi$，且可积分的周期函数，函数可展开为：

$\displaystyle f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx dx)$

　　先求$a_0$，对等式两边积分：

$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx dx)dx$

　　由正交性可得：

$\displaystyle a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$

　　再求$a_n$，等式两端乘$\cos nx$，再积分：

$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx = \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos nxdx+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left[a_k\int_{-\pi}^{\pi} \cos kx\cos nxdx+b_k\int_{-\pi}^{\pi} \sin kx\cos nxdx\right]$

　　由正交性得：

$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx =a_n\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 nxdx=a_n\pi$

　　于是：

$\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx \;(n=1,2,3,...)$

　　类似地，两端乘$\sin nx$，再积分得：

$\displaystyle b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx\;(n=1,2,3,...)$

级数收敛

　　$a_n,b_n$是通过积分算出来的，当然能满足添加了积分运算的上述级数的等式。但是如果没有积分运算，等式一定能成立吗？或者说级数一定会收敛到原函数吗？$f(x)$要满足所谓“收敛定理”，级数才能收敛：

　　设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期的函数，如果它满足：

　　(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点。

　　(2)在一个周期内至多只有有限个极值点。

　　则$f(x)$的傅立叶级数收敛，并且当$x$是$f(x)$的连续点时，级数收敛于$f(x)$；当x是$f(x)$的间断点时，级数收敛于$\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]$。