随笔分类 - 数学分析
摘要：Leibniz Integral Rule \(\newcommand{\d}{\text{ d}}\)假设二元函数\(f(x,y)\)连续，可以证明\(I(y)=\displaystyle\int_a^{b}f(x,y)\d x\)连续。连续意味着：\(\lim\limits_{y\to y_0}
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摘要：Fourier变换及其逆变换 在我们已经讨论过的Fourier级数中，我们能够取三角函数的一个周期\([-\pi,\pi]\)对任何周期为\(2\pi\)的函数做Fourier展开。现在假设函数的周期不是\(2\pi\)而是一般地具有有限周期\(2T\)，那么很自然地我们可以对三角函数做伸缩，用\(
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摘要：Fourier在研究热传导的问题时，用$\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx+b_n\sin nx)$的形式来表示一个周期为$2\pi$的函数$f(x)$，取得了很成功的结果。于是他猜测任何以$2\pi$为周期的函数都可以用这种三
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摘要：## 引言 在数分课上讲到Green、Gauss、Stokes公式这一节时，对这些公式没能很快的理解，很大程度上是因为对梯度、散度、旋度的概念没有直观感受，同时对算子$\nabla$的含义经常产生混淆。恰好课上老师提到了费恩曼对这些公式有过一个直观的理解，于是去读了费恩曼的书，并对场论产生了兴趣，所
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摘要：## 函数项级数的点态收敛性 在一个数项级数中，每个项都是一个常数：$a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots$。现在有一系列数项级数，我们可以把每一项都看作是关于某个自变量$x$的函数$a_i(x)$，这样我们也得到一个“级数”$a_1(x)+a_2(x)+\cdots+a_n(x)+\
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摘要：重积分是对平直空间的积分，现在我们想要研究弯曲空间上的积分。这种积分可以根据其“物理意义”分为两类：一类是对弯曲空间上的标量做积分，这类问题可以归约为“给定密度求质量”，例如给定每点处的线密度求曲线的质量，给定每点处的面密度求曲面的质量；一类是对弯曲空间上的向量做积分，例如计算沿某路径的力做的功，通
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摘要：## 面积，测度 我们在一元时已经建立了定积分的概念，并用“曲边梯形的面积”这一几何意义来理解它。我们知道定积分其实是Riemann和的极限，那么我们很容易自然地把它推广到多元函数——二元函数的积分应当表示“曲顶主体的体积”等等。 我们在推广时遇到的第一个问题在于多元下的“划分”该如何定义。在给一元
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摘要：## 多元函数的微分 微分是对函数某一点附近的线性逼近，这一点在多元函数中依然是核心思想。 ### 偏导数 在一元函数的微分学中第一个被引进的概念就是“导数”，它本质上是一个极限，用线性的方式反应了函数在该点处的“变化率”。在多元函数中，我们想类比的定义“导数”。 由于自变量有多个， 我们先不同时考
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摘要：Euclid空间 对向量定义了加法和数乘，满足对加法和数乘封闭以及八条基本性质的空间称为线性空间。在线性空间的基础上定义两个向量的内积运算并满足正定律、交换律和分配律这三条性质的空间称为内积空间。在线性空间的基础上，定义向量的范数并满足正定律、三角不等式和提取常数范数这三条性质的空间称为赋范空间。在
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摘要：微分学的基本思想就是“丢掉高阶无穷小”。但是牛顿说过：“在数学中最微小的误差也不可忽略。”于是我们要问：“高阶无穷小为什么可以忽略？”为了说明“丢掉高阶无穷小”的确是可行的，必须建立严格的微分理论。 无穷小 首先我们需要严格刻画“无穷小”这个概念。无穷小显然不能通过“某个实数”这样静态地来刻画，它的
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摘要：定义与基本性质 可列个实数可以对应一个数列$x_n$，他们的和就是$x_1+x_2+\cdots$ 我们可以严格定义无穷（可列）多个数的和，这就是数项级数。类似反常积分的定义，我们也通过先求和再取极限的方式来定义。设前缀和$S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}x_k$，那么就可以把$\
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摘要：反常积分 定义 Riemann积分的定义要求被积函数是有界的，同时要求积分区间是有限闭区间。而在实际应用中经常会遇到函数是无界的以及积分区间是无穷的情况。因此我们要把Riemann积分进行推广。我们将会看到这种推广是自然的，并且函数无界和积分区间无穷的情形本质上是一回事。 积分是在描述曲边梯形的面积
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摘要：定义 想要求出曲线下“曲边梯形”的面积，我们采用的方法是竖着把面积切成一格格细条的长方形，用每个长方形来近似代替每一小块面积，最后再把所有长方形的面积之和加起来。 我们认为，只要我们的切分“足够细”，那么我们得到的面积就会“足够接近”曲边梯形的面积。这里，我们在讨论一个极限过程，而在我们没有到达极限
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摘要：不定积分与“积分”并没有关系，它是微分学的一部分。因为“不定积分”只是基于导数定义出来的“求导的逆运算”。从某种意义上，它没有涉及任何新的理论，只是通过导数的运算法则推出的一些逆运算的运算技巧。 定义与记号 函数$f(x)$的不定积分是由它的所有原函数组成的函数族（集合）。定义 $\displays
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摘要：实数系的连续性 在人们对数的认识的发展历程中，首先定义了自然数。这一数系对加法和乘法封闭，但是对减法不封闭；于是我们引入了负号，将自然数拓展到了整数；整数对除法不封闭，于是我们引入了有理数。有理数具有稠密性(denseness)，取任意\(a,b\in \Q\)，一定存在一个\(c\in \Q\)使
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摘要：微分中值定理 微分中值定理包括四个基本定理：Fermat定理、Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了具有某种性质的中间值，称为“中值”。虽然我们对中值缺乏定量的了解，但这并不影响我们对它的使用。 Fermat定理 Fermat定理指出：
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摘要：连续函数 现在我们开始研究一个称为“连续”的概念。其实更本质的，我们是在研究当自变量发生微小变化的时候函数值如何变化。从某种意义上，连续的概念来自于几何直观——连续就是不间断。如果自变量的变化趋向0时，函数值的变化也趋向0，那么函数在这个点上就是“连续”的。 由此，我们可以严格定义连续性：函数在某点
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