连续性

连续函数

现在我们开始研究一个称为“连续”的概念。其实更本质的，我们是在研究当自变量发生微小变化的时候函数值如何变化。从某种意义上，连续的概念来自于几何直观——连续就是不间断。如果自变量的变化趋向0时，函数值的变化也趋向0，那么函数在这个点上就是“连续”的。

由此，我们可以严格定义连续性：函数在某点连续要求，在这点有定义，在这点的邻域有定义，这点处的极限等于这点的函数值。一个在区间上连续的函数就是区间内的任意一点都连续的函数。对于闭区间，只要求端点处单侧连续。

我们根据左右极限的情况将间断点分三类，这三类的讨论是完全的，没有遗漏任何一种情况，因为它完全讨论了两侧极限的存在性与相等性：第一类左右极限都存在但不相等，又称跳跃间断点；第二类左右极限中至少有一个不存在；第三类左右极限都存在而且相等，但是极限不等于函数值或者函数在该点无定义，这种间断点很容易“补上”，称为可去间断点。

区间上的单调函数（整个开区间都有定义）的不连续点一定是第一类间断点，而且间断点至多可数个。可以证明单调递增函数在任意一点处的左极限小于等于右极限：把所有自变量小于\(x_0\)对应的函数值放进一个集合，这个集合一定有上确界，\(f(x_0)\)一定大于等于这个上确界，然后用定义证明这个上确界就是左极限；同样的右边的下确界就是右极限。而每个间断点都可以在值域的区间里取一个有理数，因此间断点可以和\(\Q\)的某个子集双射，因此间断点个数可数。

在闭区间上连续并严格单调递增（递减）的函数有反函数，反函数也连续且严格单调递增（递减）。证明用连续的定义。

由于函数极限是定义在去心邻域上的，因此在复合函数的时候就容易出问题。“趋近”是有很多种方式的，如果函数在“趋近”的时候会到达“心”，就可能导致外层函数极限不存在。但要是函数连续就没有问题。对于连续函数，lim记号可以移进函数里面，证明用定义。

有这样一个函数（Riemann函数），当\(x\)是无理数时\(f(x)=0\)，当\(x\)是有理数\(\dfrac{p}{q}\)时\(f(x)=\dfrac{1}{q}\)（需要保证\(p,q\)互质并且\(q>0\)），特别地\(f(0)=1\)。我们可以证明它在任何一点处的极限都是0，也即它在无理点处是处处连续的：我们容易发现这是一个周期函数，因此我们只需对\([0,1]\)给出证明。对于给定的\(\varepsilon\)，只有那些\(q\)比较小的点才会使函数值大于\(\varepsilon\)，这样的点的个数是可以用\(\varepsilon\)表示出来的，因此是有限的。正因为有限，我们可以取到一个足够小的邻域，这个邻域内函数值都小于\(\varepsilon\)，这就证明了任意点的极限都是0。这个例子其实我们，对于函数的极限实际上我们关心的是“邻域上的变化趋势”，一个看似离散的点的分布却刚好满足这种连续的趋势。这和Dirichlet函数不一样，Dirichlet函数在\(0,1\)之间反复横跳，不满足连续的趋势。

闭区间上的连续函数

有界性定理。如果函数在闭区间上的连续，那么在这个闭区间上有界。反证法，如果无界，那么把区间二等分，至少有一个区间无界。不断重复二等分的过程，得到一个闭区间套。当等分次数足够大时，这个区间套可以包含在\(\xi\)的任何一个邻域里，而由于连续以及函数极限的局部有界性得到存在一个\(\xi\)的邻域函数值有界，发生矛盾。

最值定理。如果函数在闭区间上的连续，那么在这个闭区间上函数能取到最大值和最小值。首先函数的值域是有界的，因此存在上确界（下确界同理）。根据确界的定义，在上确界与比上确界小一点的数之间肯定有函数值存在。用1/n的方式不断紧缩这个“一点”，得到一个函数数列。由于有界，这个数列必有收敛子列。根据夹逼与连续性，我们得到这个子列收敛时的自变量也收敛，这个收敛点就是最大值点。

零点存在定理。如果函数在闭区间\([a,b]\)上连续，\(f(a) \cdot f(b) < 0\)，那么一定存在\(\xi \in (a,b)\)使得\(f(\xi) =0\)。取所有函数值小于0的自变量集合\(V\)，\(V\)有一个上确界。我们证明这个上确界就是\(\xi\)。首先，因为函数值在端点处分别大于0小于0，由于函数连续，肯定有一小段邻域他们保号，所以\(\xi\)的确落在开区间内。其次，我们在\(V\)中取出一个逼近上确界\(\xi\)的数列，这个数列对应的函数值的极限一定小于等于0。我们证明这个极限小于0是不可能的，因为如果小于0就一定可以继续取一小段邻域使得函数值保号（依然小于0），这就与“确界”矛盾了。

介值定理。闭区间上的连续函数能取到最大值与最小值之间的任何一个值。随便规定一个值，我们把这个值平移到0的高度，用一下零点存在定理就好了。这也其实我们，闭区间上的连续函数的值域就是最小值到最大值构成的整个闭区间。

一致连续

如果两点的函数值之差小于\(\varepsilon\)只要求自变量之差小于某个只依赖于\(\varepsilon\)而不依赖于自变量具体位置的定值\(\delta\)，就称函数一致连续。直觉上看，这个函数图像上没有绝对陡峭的坡度（这只是简单理解，\(\sqrt{x}\)在\(x=0\)处也是一致连续的）

一致连续也可以用数列来等价地描述：取两个自变量的数列，如果这两个数列逼近同一个值，那么它们的函数值也必须逼近同一个值。

连续函数如果在闭区间上连续，那么就在这个闭区间上一致连续。如果在\((a,b)\)上连续，那么当且仅当\(f(a+)\)与\(f(b-)\)存在时它在\((a,b)\)上一致连续。

重要命题与思想

若满足下列两条件之一:
(i) \(f(u)\) 在 $ u_{0} $连续, $ \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=u_{0} $,
(ii) $\lim\limits {u \rightarrow u{0}} f(u)=A, \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=u_{0} $, 但在 $ x_{0} \(的某个邻域\) \left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right) $ 内, 当 $ x \neq x_{0} $时 $g(x) \neq u_{0} $

那么\(\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f[g(x)]=\lim \limits_{u \rightarrow u_{0}} f(u)\)

自然对数

我们研究数列\(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\)。

数列\(a_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\)是严格递增的，有均值不等式\(1 \cdot \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n < \left[\dfrac{1+n(1+\dfrac{1}{n})}{n+1}\right]^{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}\)。

构造数列\(a'_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}\)是严格递减的，对它的倒数有均值不等式\(1 \cdot \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n+1} < \left[\dfrac{1+(n+1)\dfrac{n}{n+1}}{n+2}\right]^{n+2}=\left(\dfrac{n+1}{n+2}\right)^{n+2}\)。

所以\(a_n<a'_n<a'_1=4\)。根据单调有界必收敛，\(a_n\)有极限。这个极限就是\(e\)。可以证明\(e\)是无理数。

\(\lim\limits_{n \to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n+p}\right)^{n+q}=e\)

\(\lim\limits_{n \to \infty}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{n}=\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{n-1}{n}\right)^{n}=\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n+1}=\dfrac{1}{e}\)

\(\lim\limits_{n \to \infty}\left(1-\dfrac{1}{n+p}\right)^{n+q}=\dfrac{1}{e}\)

\(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n<e\)恒成立

由\(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n<e< \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}\)，取对数得

\(\dfrac{1}{n+1} < \ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)<\dfrac{1}{n}\)

对于数列\(b_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\ln n\)，\(b_n>\ln \dfrac{2}{1}+\ln \dfrac{3}{2}+\ln \dfrac{4}{3}\cdots+\ln \dfrac{n+1}{n}-\ln n=\ln(n+1)-\ln n>0\)，而\(b_{n+1}-b_n=\dfrac{1}{n+1}-\ln (n+1)+\ln n=\dfrac{1}{n+1}-\ln \left(1+\dfrac{1}{n}\right)<0\)，根据单调有界必收敛，可知\(b_n\)收敛，它的极限称为欧拉常数\(\gamma=0.577\cdots\)。

\(\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e\) 及其推论：

趋向负无穷：\(\lim\limits_{x \to -\infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=\lim\limits_{y \to +\infty} \left(1-\dfrac{1}{y}\right)^{-y}=\lim\limits_{y \to +\infty} \left(\dfrac{y-1}{y}\right)^{-y}=\lim\limits_{y \to +\infty} \left(\dfrac{y}{y-1}\right)^{y}\)

\(=\lim\limits_{y \to +\infty} \left(\dfrac{y-1+1}{y-1}\right)^{y}=\lim\limits_{y \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{y-1}\right)^{y}=\lim\limits_{y \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{y-1}\right)^{y-1}\left(1+\dfrac{1}{y-1}\right)\)

\(=e\)

变成减号：\(\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1-\dfrac{1}{x}\right)^x=\dfrac{1}{\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1-\dfrac{1}{x}\right)^{-x}}=\dfrac{1}{\lim\limits_{y \to -\infty} \left(1+\dfrac{1}{y}\right)^{y}}=\dfrac{1}{e}\)

取倒数换元，变成趋向0：\(\lim\limits_{x \to 0} \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e\)

取对数：\(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1\)

换元\(y=\ln(1+x)\)：\(\lim\limits_{y \to 0}\dfrac{y}{e^y-1}=1\)

\(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^{\alpha \ln(1+x)}-1}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^{\alpha \ln(1+x)}-1}{\alpha \ln(1+x)}\dfrac{\alpha \ln(1+x)}{x}=\alpha\)

\(\sqrt{|x_1-x_2|} \geq |\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|\)：

等价于\(|x_1-x_2| > |x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}|\)

等价于\(x_1^2+x_2^2-2x_1x_2 > x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+4x_1x_2-4(x_1+x_2)\sqrt{x_1x_2}\)

等价于\(4(x_1+x_2)\sqrt{x_1x_2} >8x_1x_2\)

等价于\((x_1+x_2) >2\sqrt{x_1x_2}\)