实分析与复分析期末总结

Real Analysis

Prologue

P8:

\[\mathrm{card}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))=c. \]

Measures

\(\sigma-\) Algebras的定义，Monotone class,单调类定理，符号测度的定义

P26（Thm 1.9): 测度空间的扩张

P29 (Thm 1.11): Caratheodory theorem

P31 (Thm 1.14) 测度构造定理

构造完备测度的过程：由预测度构造外测度，外测度得到测度，测度完备化

P37 (1.20) 可测集与开区间的关系（by 可测集与开集的关系+开集构造定理）

Integration

P43: 可测函数的定义

P47 (Thm 2.10)可测函数被简单函数逼近

三个收敛定理+Fubini定理

函数列的收敛模式

Borel–Cantelli引理\(\rightarrow\)Egoroff定理\(\rightarrow\)Lusin定理

Signed Measures and Differentiation

P86：Hahn分解定理（会证明），Jordan分解定理（由Hahn分解定理容易得出）

P90: absolutely continuous定义与Thm 3.5的等价刻画（B-C引理的应用）

P90：Lebesgue-Radon-Nikodym Theorem (会证明)

P95：Vital覆盖定理（Lemma 3,15)

P96: 利用Hardy-Littlrwood maximal function证明Lebesgue微分定理（工具：Vital覆盖定理+连续函数逼近\(L^1\)中函数+Chebyshev不等式）

P103: （Thm3,27）BV函数的Jordan分解定理

Point Set Topology

P122:乌雷松引理（Urysohn lemma）

\(L^{p}\)空间

P193： (Thm6.18) 算子范数估计（by Tonelli theorem）

P197：(Thm 6.23）调和分析预备定理（用分布函数来表示积分）

P200：调和分析的算子插值定理(Riesz-Thorin interpolation Theorem,Marcinkiewicz interpolation theorem)

Radon Measures

本章研究局部紧的Hausdorff空间上的测度与积分理论，内容同Ch1，2

Elements of Fourier Analysis

P243: good-kernel方法，利用卷积方法证明Weierstrass第一逼近定理

P245:: Urysohn引理的光滑版本

P252 The Plancherel Theorem

P254: (Thm 8.32) Poisson Summation Formula

Complex Analysis

Cauchy的积分理论

Cauchy积分定理，平均值公式，Cauchy估计，最大模原理，Liouville定理，Morera定理

Weierstrass的级数理论

解析函数的零点孤立性，保域定理，Schwarz定理，Rouche定理，辐角定理

Reimann的几何理论

Poisson kernel,Jensen公式，调和函数的性质