讲课记录

Update on 7.18 好像初步完工了！！！

写的很简单，后面在完善。

D1 dp (lyc)

凸性:ppt

边际效应：对应着决策单调性，两个东西，同时加上一个东西，多的东西加的多。

二维的边际效应：四边形不等式，就是两条一长一短的线段，同时加一个东西，给长区间加一个东西，比给短区间加一个东西代价更大。

四边形不等式能推出决策单调性和完全单调性

2D/1D: 形如 \(f_{k,i} + \omega(j,i) \to f_{k+1,j}\),假设 \(\omega(j,i)\) 满足决策单调性。我们有一个分治做法，能做到 \(O(n k \log n)\)，对于一个区间 \(\left[l,r\right]\)，我们找到中点 \(mid\)，暴力计算，接着直接分治，只不过有决策单调性，可以不用遍历完。

课上讲的是 CF1603D。

完全单调性：对于任意 $ 𝑖<𝑗 $，在一个前缀中从 \(𝑖\) 转移更好，在一个后缀中从 \(𝑗\) 转移更好。

二分队列：

状态设计技巧:在最优化问题中，一个常用的方法是：
先设计一个取值为 0/1 的状态，然后利用单调性去掉一维。

举例子：CF1870E

如果某个转移区间能被其他东西替代，那么不优。

也可做上面那道题。

还有一个 CF1768F。

WQS二分：

---

dp 设计原理：感觉是状态设计。

课上的例题好像忘了（ 这个

但是实际上是这样的：我们写考虑判定，再将判定的变量加入 dp。

例题：UOJ748，有点抽象啊

dp of dp:判定换为 dp，一般状态不会多。

一些奇怪的状态：Gym103466I（状压的东西不太正常）
ABC225F（邻项交换法，倒序），CF1810G(和前面差不多，wzy 讲的)

这里是题解

CF1603D

每一步都很自然的 *3000。

根据上课讲的东西，决策单调性显然，注意到 \(\log_2(k) \geq n\) 时直接能构造出为 \(n\) 的解，然后套用分治即可。还需要一些数论技巧。

CF833B P5574 CF868F

根据上课讲的东西，决策单调性显然。算是三倍经验了。

P1912

二分队列。

AT_abc225_f

Sol

CF1810G

在dp选讲写了。

P8321

在dp选讲写了。

CF1870E

有意思题目，第一种做法就是设 \(dp_{i,j}\) 表示 第 \(i\) 项的答案是否能为 \(j\)，让他成为 0/1 dp。把单调的一维设为状态。所以是 \(dp_{j} = i\)。类似于 dijkstra 转移即可。第二种是转移优化，直接因为本题中，只有极短 mex 区间是有用的。即，若 \(\left[𝑖,𝑗]=[𝑖−1,𝑗 \right]\)，或 \(\left[𝑖,𝑗\right]=\left[𝑖,𝑗−1 \right]\)，那么这个区间就是无用的。这样的区间只有 \(𝑂(𝑛)\) 个。

证明看看第一篇题解，多头上课没证明出来。（

UOJ748

考虑如何判定这个东西，我们如果能匹配就匹配了，如果不能匹配，我们就直接，让前面的数当做插入的，保证合法就行。

能我们只需要设 \(dp_{v,x,y}\) 表示已经匹配了长度为 \(v\) 的前缀，插入了 \(x\) 个 0，\(y\) 个 1。转移不难。

2019 ICPC Nanjing 区域赛 I（QOJ7063）

先考虑 \(1\le a_{i} \le 50\) 怎么做，我们有一个直观的想法就是对达到的点进行状压。显然不对。但是我们真的需要这样做吗，我们只需要把到达的点的权值进行状压就行了。直接把这个东西的哈希值放在状态里面就行了。对于权值 \(\geq 50\) 的情况，我们是不是直接乘上一个组合数进行了。对于 \(0\) 的情况也是同理。

P10141

有一个 \(O(n^4)\) 的 Dp，设 \(dp_{l,r,x}\) 代表在 \(\left[l,r\right]\) 的这个区间，\(x\) 能留下来的概率，这个不好，我们反着做，设 \(dp_{l,r}\) 代表为 \(\left[ l,r\right]\) 这个区间能留下来的概率，是 \(O(n^3)\) 的，这个题后面的部分没有意义就不写了。

P2224

P3188

CF1768F

GYM102538H

D2 math (lsy)

?

前面是为后面符号做铺垫。直接贺 PPT 吧。

上午讲的直接贺 PPT 了。疑似太形式化了。

---

前面是一些 Tricky 东西

后面是容斥原理，二项式反演，子集反演。

贺了一个图

DAG容斥：？，容斥系数的推导。

GF：讲的东西有点 Trivial。

这里是题解

P4159

分层图，然后做完了。

P10143

考虑算贡献，分两种情况， 太简单了，没啥好说的。

P7961

经典永流传属实了，直接设 \(dp_{i,j,k,l}\) 表示 目前从低到高确定了第 \(i\) 位，目前确定了 \(j\) 个数，目前 \(1\) 的个数为 \(k\)，上一位进位了 \(l\)的所有答案，考虑怎样转移，就是转移到 \(dp_{i+1,j+t,k+(l+t) \bmod 2,l+ \left\lfloor \frac{(l+t)}{2} \right\rfloor }\)，现在来确定一下系数，注意到贡献是乘积的形式，所以可以乘上 \({n-j \choose t} v_{i} ^ t\)，然后就做完，注意下最后算答案的时候处理一下进位合不合法。

P5664

怎么还是经典题，先考虑容斥，不看最后一条限制，答案是 \(\sum\limits_{i=1}^{n}(1+\prod\limits_{j=1}^{m} a_{i,j}) -1\)，有一个经典的观察是最多只有一种主要食材不合法，直接枚举它，我们设 \(dp_{i,j,k}\) 表示前 \(i\)项，不合法的选了 \(j\) 个，合法的选了 \(k\) 个。是 \(O(nm^3)\) 的。注意到当且仅当 \(j-k \geq 0\) 时才能算贡献，直接把后面那一坨换成差值就可以了，是 \(O(nm^2)\)，可以通过。

AT_arc154_e

不是题目难度差距巨大啊。

怎么感觉这个题不难

需要一点注意力。

\[\begin{aligned} Ans & =\sum_{i<j} [P_i>P_j] (j-i) \\ &= \sum_{i} \sum _{j>i} (-i) [P_i < P_j] + \sum_{i} i \sum _{j<i} [P_j > P_i] \\ &= \sum _{i} i \left({\sum_{j<i} [P_j > P_i] - \sum _{j>i} [P_j < P_i]} \right) \\ &= \sum _{i} i \left({i-1 - \sum _{j} [P_j < P_i]} \right) \\ &= \sum _{i} i \left({i-1 - (p_i-1)} \right) \\ &= \sum _{i} i \left({i-p_i} \right) \\ &= \sum _{i} i^2 - i{p_i} \\ \end{aligned} \]

前面 \(i^2\) 项对原来的贡献就是 \({n+1 \choose 2}^m\)，乘起来。

后面不好算，考虑期望乘上总方案数， 就是\(E\left[\sum\limits_{i} i{p_i}\right] = \sum\limits_{i} p_i \times E\left[pos_{p_{i}}\right]\)

上面那一步有点牛，因为他是排列。

首先没又换过的概率就是 \((1-\frac{(n-i+1)i}{\frac{n(n+1)}{2}})^m\)，期望位置为 \(i\)。

我们考虑一个点 \(i\)。通过一次操作把它挪到点 \(j\) 的方案数显然是 \(\min(i,n−i+1,j,n−j+1)\)

注意到 \(j\) 和 \(n-j+1\) 本质相同，所以我们期望是 \(\frac{n+1}{2}\)，是不是很牛。概率从前面的减就可以了。

那我们就做完了。

AT_yahoo_procon2019_qual_e

权值和是奇数就是异或和为 \(1\) ，考虑线性基。

我们假设选出了一些行，异或后的序列为 \(B_1,B_2,\dotsb B_m\)。

我们想知道有多少个子集异或为 \(1\)，注意到 \(\forall B_i\)，\(B_i \in \left[0,1\right]\)。我们构造出来线性基，显然是 \(1\)，对于剩下的 \(m-1\) 个数，对于 \(2^{m-1}\) 可能的情况，都能构造出来他们为 \(1\)，所以就是 \(2^{m-1}\)，但是对吗？如果我们序列所有数都为 \(0\)，那不就炸了吗。考虑容斥，我们把每一列的数凑起来看成一个整体，问题变为了一个序列 \(C_1,C_2,\dotsb C_n\)。我们要选出来有多少个子集异或为 \(0\)。那不就是线性基吗，把所有数加进线性基，答案就是 \(2^{n-线性基大小}\)。还是一样的道理，线性基内可以构造，外面任选。那们一共就有 \(2^n-2^{n-线性基大小}\) 种合法的，再乘上 \(2^{m-1}\) 可能的情况就行了。

总结：线性基是极大线性无关组的性质一般都是题目的突破口。

感觉挺深刻的。

P3265

不就是线性基板子吗，注意到线性基是满足拟阵的。

P4570

从大到小排序，线性基板子。

P3292

我不会告诉你我是树剖+线段树过的

现在看来直接倍增就可以了，对的对的。

AT_abc223_h

不难。

P4151

有趣，老题新做。

我们注意到如果只有一条路径，那们答案直接就是 \(dis_{n}\)，不妨考虑的时候借助生成树，分析每条非树边怎么加进去。我们注意到有一个环的情况，就是异或的时候加上环上一圈的异或值，那么所有的情况是同理的。我们把所有环找出来做一遍线性基即可。还有一个问题，我们到 \(n\) 的路径不止一条，但是我们是高贵的线性基，所以就是对的！！！

还是一句话：线性基是极大线性无关组。

版本T0相关

实际不全是。

AT_tokiomarine2020_e

P3349

上面两个都是子集反演。感觉不难。

[CEOI 2019] Amusement Park

经典题*1

我们发现对于一个合法的 DAG，若可以通过原图操作 \(x\) 次得到，我们也可已通过 \(m-x\) 得到一个反向的合法 DAG，那们变成了一个计数 DAG 个数问题，再乘个 \(\frac{m}{2}\) 就是答案。

第一次做大概率做不出来的，这里直接说怎么做。注意到数据范围很小，考虑一下状压，设 \(dp_{S}\) 点集为 \(S\) 时的答案，对于这一类问题，我们有一种通用的想法，我每一次考虑将一个互相独立的点的集合加入转移，如下图所示：

我们直接这样转移即可。

但是有问题啊，会算重！！！

还是上图的例子

不难发现一个被算了很多次，我们直接容斥，如果互相独立的点的集合为奇数令他的贡献为正，否则为负。

写出来长这样：

\[f(S)=\sum_{T \subseteq S} (-1)^{\left|T+1\right|} f(S-T) \]

找一个互相独立的点的集合可以这样：

rep(i,1,m){
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    G[a]|=(1<<(b-1));G[b]|=(1<<(a-1));
}
ok[0]=1;
rep(s,0,(1<<n)-1){
    rep(i,1,n){
        if(s&(1<<(i-1))&&!(G[i]&(s-(1<<(i-1)))))    ok[s]=ok[s-(1<<(i-1))];
    }
}

子集你肯定知道是 \(O(3^n)\) 的。

贺一个题解的话就是：钦定零度点集，简单容斥去重。

ABC306Ex

经典题*2

考虑没有等号怎们做，不就是上一个题吗？

那我们只需要考虑有等号的情况就行了，这个不就等价于缩点吗，预处理所有可能的情况，用并查集维护一下联通块大小，和上一个题没有区别。

拉插优化dp

难点在于想到拉插，可以看看这一篇是如何找到次数的。

省流：差分！！！

lsy给的题不多，经典题还是自己找一找。

Day 3 树上ds,图论相关 （lsy）

最开始有点 Trivial。

前面东西总结一下：

1. 尽量使用基本的技巧，转化为经典问题
2. 根据信息结构的强弱，使用不同的东西维护。
3. 倍增维护等幂信息，这个只需要不漏，树上差分要想的起来。

重剖：candy。

长链剖分：我好像写过一点，但是还有优化 dp。

线段树合并：今天主要不是基础，是线段树合并优化 dp。
其他的总结是线段树合并+树上差分可以做到“在恰当的时刻拥有想要的信息”

还是写一下优化 dp 吧。

要满足一些条件，有用的值是 \(sz\) 个，并且后面那一坨是一堆相乘的形式。实际上是整体 dp。

dsu on tree:本身简单，今天讲的题有点抽象，一个 Trick 是枚举 LCA。

---

最小生成树：我们不一定要用，主要是 3 种求法的思想各有各的用处。

生成树相关构造与 dfs 树：dfs 树具有不存在横叉边的性质。

点双：圆方树，不解释/wx。

强连通性：今天学会了 kosaraju ！！！，对于正图dfs，记录出栈时间戳，在反图从大到小 dfs。

耳分解

双极定向

2-SAT：今天的技巧是将 \(X_{i,j}=[a_i\le j]\) 作为条件。

欧拉回路：dfs，回溯时加入当前点。

这里是题解。

CF888G

考虑 Boruvka，注意：这一种题目中，我们往往只是借鉴了它的思想。

我们逐位进行考虑，对于在 \(w\) 这一位中，我们将 \(0\) 与 \(1\) 的分开考虑。

我们在一侧的 root 上面直接套用经典做法找到异或最小值，然后将 \(0,1\) 两侧的树合并即可，注意到这样的话权值还要加上 \(2^w\)。

CF1364D

把 dfs 树建出来，至于相关的东西，在图论杂题写过。

无向图 dfs 树是没有横插边的。

如果能找到合法环就找，不能直接找独立集。正确性显然。

Public Judge Round 3, A

考虑 Boruvka，我们对于中间的点，只能向上或向左连一条边，然后将最外面的边直接连起来。

UOJ176

Boruvka。

P8820

111

P4577

课上讲的是dsu on tree (记得哪天写一下这个)

我们考虑 dp，设 \(dp_{i,j}\) 表示 以 \(i\) 为根的这一棵子树，此时的选的最小值为 \(j\)，

有以下转移

\[ dp_{i,w_i} =1+\sum\limits_{}{dp_{v,\geq w_i}} \\ dp_{i,j}=\sum\limits{dp_{v,\geq j}} \]

第一个正常的对每一个节点开一颗线段树，直接往上转移。

第二个考虑线段树合并优化，因为没怎么写过所以写的比较详细。

对于两颗线段树 x 和 y，我们进行分类讨论。

可以画图更有助于理解

维护 \(x\) 右边的 \(\sum\limits{dp_{v,\geq j}}\)，叫做 \(maxp\) ，另外一侧叫做 \(maxq\)

1.\(x=0,y=0\) 直接返回。

2.\(x=0,y \neq 0\) 直接给 y 上的节点区间加 maxp。

3.\(x \neq 0,y = 0\) 直接给 x 上的节点区间加 maxq。

4.\(x \neq 0,y \neq 0\) 线段树合并上去。

int y1=t[rs(y)].val,y0=t[rs(x)].val;
ls(x)=merge(ls(x),ls(y),l,mid,max(maxp,y0),max(maxq,y1));
rs(x)=merge(rs(x),rs(y),mid+1,r,maxp,maxq);

对于左子树，我们要加上右子树的那一坨东西。

这个题对对于右子树，不需要管。

最后 dp 过程大概是这样的

void dfs(int u,int fa){
    int val=1;
    for(int i=h[u];i;i=g[i].nxt){
        int v=g[i].v;
        if(v==fa)   continue;
        dfs(v,u);
        val+=query(root[v],a[u],Lim,0,Lim);
        root[u]=merge(root[u],root[v],0,Lim,0,0);
    }
    modify(root[u],0,Lim,a[u],val);
}

P5298

转移是这个，我们只需要维护前缀和，后缀和，我们考虑线段树合并优化 dp。

1.\(x=0,y=0\) 直接返回。

2.\(x=0,y \neq 0\) 直接给 y 上的节点区间乘 maxp。

3.\(x \neq 0,y = 0\) 直接给 x 上的节点区间乘 maxq。

4.\(x \neq 0,y \neq 0\) 线段树合并上去。

int merge(int x,int y,int sumx,int sumy,int pbmax,int pbmin){
    if(!x){mktag(y,sumx);return y;}
    if(!y){mktag(x,sumy);return x;} 
    pushdown(x),pushdown(y);
    int x0=t[ls(x)].val,x1=t[rs(x)].val,y0=t[ls(y)].val,y1=t[rs(y)].val;
    ls(x)=merge(ls(x),ls(y),(sumx+pbmin*x1)%mod,(sumy+pbmin*y1)%mod,pbmax,pbmin);
    rs(x)=merge(rs(x),rs(y),(sumx+pbmax*x0)%mod,(sumy+pbmax*y0)%mod,pbmax,pbmin);
    pushup(x);return x;
}

CF1697F

难点在于想到2-SAT。

Trick:将 \(X_{i,j}=[a_i\le j]\) 作为条件。

CF1583H

你管这个叫 *3300？

第一问从大到小加入，用并查集维护。

第二问就则略微不同，我们考虑如何合并两个集合，如果最大值不相等直接并查集完事，如果相等，我们可以在两边的集合中取 max，但是还有中间的东西，但我们只需要求最大费用就可以，所以随便找一条路径，取一个最大值就行了。这种做法相当于建了隐式的重构树。

长链剖分的题

看到我记得让我催更

连通性相关题目

看到我记得让我催更

Day 4 ds lyc

是不是最开始没讲的部分才是最有趣的

最开始就是经典的矩阵规约。多头是不是讲的有点水

四毛子: 实际上是 log 分块。

这里只有 +1-1RMQ。

我们取一个阈值 \(B\)，一共有 \(\dfrac{n}{B}\) 个块，然后对于整块直接维护 \(\dfrac{n}{B}\) 个ST表，这个是 $ O(\dfrac{n}{B} \log \dfrac{n}{B})$ 的。

实际上，我们研究一下本质，实际上我们要解决的问题是，如果两个点在一个块里面，我们如何求出最值，因为不在一个 块时，维护前后缀就可以了，我们需要充分利用好性质，对于长度小于等于 \(B\) 的长度，我们注意到一共只有 \(2^{B}\) 种可能，总的复杂度是 \(O(B 2^B)\) 的。令 \(B= \frac{\log n}{2}\) ，此时是线性的。

讲 \(𝑘\) 叉树 是不是还是有点魔怔了，我是不是直接可以取 \(e\) 的到理论最优复杂度。

接下来并不是 PPT 上的内容。

我们考虑维护 ds 我们要干什么。

1.信息的性质，例如结合律，以及前几天 feecle 讲课提到的那些。

2.靠近经典问题。

3.在线，离线，注意：这个和我们平常说的强制在线之类的是有区别的。，真正的在线的东西只有二分，但是好像不止吧，好吧实际上还有自动机的构造，例如莫队指针的偏移，我们需要查询一些信息，用来统计答案，这些东西显然不是强制在线的，所以我们在离线把这些信息处理，这就是所谓的“二次离线”。

4.势能，看下面。撤销：e.g. 可撤销并查集，线段树分治，回滚莫队。

根号分治：今天讲的题目难点不在于这个，之前有过总结就不写了。

---

势能分析：这应该是比较正（che）统 （dan）的。

经典问题：区间开根，区间和。

sol:我们的势能是区间 max。每一次向下开根，都会变小很多。

同样是经典问题：区间开根，区间和，区间加。

sol: 令势能 \(\sum \log(\log |a_i-a_{i-1}| +1)\)

不要看上去很吓人，实际上很多都是类似形式。

1.若势能为 0，即区间所有数相同，实际上还要特判极差为1的情况，无须递归下去开根；

2.若递归下去开根了，区间的势能至少 −1；

3.每次区间加，势能增加是 \(𝑂(\log \log n)\) 的。

所以只需维护区间是否相同。

减半报警器：。

这里是题解

莫队二离

模板题

首先暴力莫队过不去。

我们考虑将 $\left[L,R\right] \to $ 其他地方的贡献算上。

将\(\left[L,R\right]\) 对 \(x\) 的贡献记作 \(g\left(L,R,x\right)\)

1. $ \left[L,R \right] \to \left[L,R+k\right] $

就是求对于在 \(\left [R+1,R+k \right]\) 的 \(x\)，求出 \(g(L,x-1,x)\)

差分之后就是 $g(1,x-1,x) - g(1,L-1,x) $，前面的东西，我们可以直接算出来，而后面的东西，我们再次离线，就像这样给他打上一个标记

g[L-1].push_back({R+1,q[i].r,-i});

同理我们可以写出整个过程。

P3350

dp选讲写过了。

P8564

树上背包，我们可以采用上下界优化，做到 \(O(n^2)\) 的复杂度。

区间推max/min

维护最大值，次大值，最大值次数。

Day 5 flow,分治 （lsy）

原来的 blog 写了一点基础问题。

上午的题目非常的有意思。

CF1250K 这个题告诉我们一些事情，我们可对于网络流问题，我们第一个点是找到一个非常容易的数学模型，第二个是对于一个结论，可以猜测必要性推测充分性。

CF1684G 这个题也是找到一个非常容易的数学模型，如果找到了这个题建二分图是非常自然的事情。

P4003:费用流入门题目，注意力惊人。

Primal Dual 算法：实际上是势能 dijkstra，可以看看以前写的。

费用流问题，每一单位流量的最短路长度单调不减。

最小割的实质：假设 \(x_i\) 表示 \(i\) 是不是和 \(S\) 在一边，则目标就是最小化

\[\sum_{i,j} val(i \to j) \times (x_{i} and \lnot x_{j}) \]

注意:问题只能转化成这种形式，否则是 NP-hard的

题目非常有意思，后面放上来。

模拟网络流，费用流

P5470：模拟费用流入门题。
建图之后要大力分类，感觉挺抽象的。

---

下午的题目还是很有有趣的，感觉 PPT 写的很详细，等我做了在放上来。

这里是题解。

我好像有些不会做。

CF1684G

好题。

我们考虑怎们构造，因为这个和上课内容无关，所以我们直接写了。

对于 \(t_i \leq \dfrac{m}{3}\)，直接构造 \((3m,2m)\) 就可以了。

对于 \(t_i > \dfrac{m}{3}\)，最优秀的构造是 \((2p+x,p+x)\)，其中 \(p> \dfrac{m}{3}\)，\(x < \dfrac{m}{3}\)，这个代表对于一个 \(p\)，至少需要一个 \(p\) 去与它匹配，还要只产生这两个数。判断一下是否同余。然后建立二分图跑一个二分图匹配就行了。

P8215

最小割模板题目。

变量是什么：每个人参与或者不参与，每个团队愿意或者不愿意。

对于第一个限制。直接 \(S\) 向 \(i\) 连 \(d_i\)，\(i\) 向 \(T\) 连去 \(c_i\)。

真的按上课那个套路感觉没什么难度，懒得写了。

P3227，P6054

别急。

P4313

把所有贡献减去最小割。

真的按上课那个套路感觉没什么难度，懒得写了。

AT_arc142_e

前置：二分图最大权独立集：求二分图最大权值和的独立集。

先设 \(x_i\) 表示 \(i\) 选不选，然后把一边的变量取反。

伟大，无需多言。

这个是真的困难。

我们实际上的限制是

\[\max(A_x,A_y) \geq \max(b_x,b_y),\min(A_x,A_y) \geq \min(b_x,b_y) \]

后面那个拆开之后实际上是

\[A_x \geq \min(b_x,b_y),A_y \geq \min(b_x,b_y) \]

直接调整就可以了。

切糕和一些 2-SAT 的题目告诉我们我们题目的变量可以是形如 \(X_{i,j}=[a_i \leq j]\) 的东西是可以作为变量的。我们尝试直接做，但是条件是 \((\lnot x_{i} and \lnot x_{j})\) 并不能直接做，所以这个题做不了

观察一下，如果有一个下界已经 $ \geq \max⁡(𝑏_x,b_y)$ 就不用考虑了。

如果没有了，这个限制意味着什么，我么要让其中一个东西大于$ \geq \max⁡(𝑏_x,b_y)$，这个东西好像对于一组限制，就已经是二分图，对于左侧的，就是 \(a_i<b_i\)，另外一侧是 \(a_i \geq b_i\)，我们直接转换成为 \((x_{i} and \lnot x_{j})\)，好了这个就是二分图的形式。

不要急，我们还没有考虑每一个变量的限制。

有一个显然的东西是$i+1 \to i $ 连接 INF。

不是剩下的都很显然啊，不写了。后面就是上课讲的基础东西。

AT_arc125_e

Link

CF1442D

有意思的。

我们注意到最优的选择一定是只有一个没有选完，其他的都选完了。

暴力 dp 是枚举只有一个没选完的点 \(x\)，将 \(1,2,3,\dots x-1,x+1,\dots,n\) 加入 dp，这个是 \(O(nk^2)\) 的。

考虑分治，solve(l,r) 这个东西表示已经将 \(\left[1,l-1\right] \cup \left[l+1,n\right]\) 的东西加入了背包，那对于 \(solve(l,mid)\)，我们只需要将 \(\left[mid+1,r\right]\) 加入背包，回溯是回退即可。

solve(l,l) 就是答案。

P7482

没有意思题。

直接暴力维护 \(4\) 个 dp 数组，分别为左端点可以选或一定不选的的独立集，右端点可以选或一定不选的的独立集。然后分治算贡献就行了。

P4755

最值分治，很有趣的套路，如果贡献和最值相关，我们直接对最值进行分治，每次只需要枚举小区间，算它对大区间的贡献，感觉你可以叫他启发式分裂。

P5654

以后我一定要学会线性求笛卡尔树！！！

考虑将询问拆开，我们以左端点为例，对于 \(\left[l,r\right]\) 这个点，从\(\left[w+1,r\right]\) 来的的贡献不改，只需改另外一侧就行了，只需要ds维护就行了。

P9058

遇见树上路径问题，考虑点分治。

那们直接转化为 \(dis_u+dis_v\) 就是对的，但是这样的点对太多，很多都没有用，他们可以被其他东西偏序掉，这个东西就叫做支配对。

在这个题目中，我们只需要找到他们的前后继就行了，一共只有 \(O(n \log n)\) 个，用单调栈维护，最后是一个类似二维数点的形式，代码并不难。

P5979

feecle:这个题很简单，我们就不讲了。

P2305

出栈序+李超线段树套线段树

CF1373F P6122 P3826 P4214 P3980 CF1427G CF1666K P1792 CF2029I

还没有看。

Day 6 纸糊串

我会哈希，你会吗。

内容和这个高度重合，看看这个吧。