多项式模板

多项式求逆

求解 \(f^{-1}(x)\mod x^n\) .
假设\(\mod x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}\) 已经计算完毕， \(f^{-1}(x)\equiv f_0^{-1}(x) \mod x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}\) .
\(f(x)\cdot f_0^{-1}(x)\equiv 1 \mod x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}\).
\(f(x)\cdot f^{-1}(x)\equiv 1 \mod x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}\).
\(f^{-1}(x)-f_0^{-1}(x)\equiv 0 \mod x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}\).
平方可得：\(f^{-1}(x)^2-2f^{-1}(x)\cdot f_0^{-1}(x)+f_0^{-1}(x)^2\equiv 0 \mod x^n\).
乘以 \(f(x)\) 可得：\(f^{-1}(x)\equiv f_0^{-1}(x)(2-f(x)\cdot f_0^{-1}(x)) \mod x^n\).
然后递归计算即可，时间复杂度 \(O(n\log n)\).

点击查看代码

...