密码学数论基础

 

密码学真是太难了，还剩两个月就要考试了，趁现在感紧复习一下密码学吧，不然要挂科了（滑稽(●'◡'●))。一起复习，相位猛冲，起飞！ 一、数论基础 数论基础要学的很多，要学好密码学，这关是必须要攻克的难题。

 

1. 整除 a整除b记为 a|b ，能整除说明b=ma； 0能被任何非0的数整除； 整除具有传递性，即 a|b，b|c 则a|c； 若b|g，b|h 则b|(mg+nh)。//mn是任意整数。

 

2.带余除法 a=qn+r，正整数n除非负整数a，得到整数商q和整数余数r，0 ≤r＜n。

 

3.欧几里得算法 最大公因子gcd（a,b）=gcd(|a|,|b|); 假设正整数a，b（a≥b）的最大公因子为d，a=qb+r；则d|a，d|b，则d|a-qb，即d|r； 因为0≤r<b，且d|r，所以gcd（b，r）=gcd（a，b）。说句白话，其实就是d是ab的最大公因子，又是r的因子，r是ab的因子，d即是rb的最大公因子; 扩展欧几里得算法 ax+by =d=gcd（a，b）=gcd（b，amodb），已知a，b和最大公因子d，求x和y的值。

 

4.模运算 同余性质

                  （1）n|（a-b），a≡b mod n； a-b=kn，a=b+kn，所以a≡b mod n；

                  （2）若 a≡b mod n，b≡c mod n，则a≡c mod n；传递性； 模算术运算 具有线性性质 加减乘，这部分内容可以参考教材书《密码编码学与网络安全 原理与实践第七版》第25页（内容不方便                                         打出来，偷个懒，滑稽）；

       模运算的性质

                 （1）设 n 是一个正整数，则整数集上的“模 n 同余”关系是一个等价关系。 Ai={x|x≡i mod n} ，0≤i≤n-1 ，则 Π＝{A0,A1,...,Ai-1}就是整数集的一个划分。对于整数 x ，用 [x] 表示 [x] 所在的等价类，称作x所在的剩余类。

                 （2）模运算满足交换律，结合律，分配率，单位元，加法逆，但不满足 （a*b）≡（a*c）mod n 推出 b≡c modn ，除非a与n互素。

 

5.素数       （1）素数定义：素数p的因子有且只有±1和±p；

                 （2）算术基本定理：任何a>1，都可惟一地分解为素数的乘积。例如6=2*3;3600=2*2*2*2*3*3*5*5；即 a=Π（p^ap） [条件：ap>=0,p是素数]

     

6.费马定理 a^(p-1)≡1mod p (条件：p是素数，a是正整数且a与p互素)，费马定理常被用来逆元的求解 费马小定理 a^p≡amod p （条件：p是素数，a是正整数，这里没有a与p互素的条件）

 

7.欧拉函数φ(n)

                 （1）定义：小于n且与n互素的正整数个数 （2）性质：素数p，φ(p)=p-1； φ(p*q)=φ(p)*φ(q)=(p-1)*(q-1);

 

8.欧拉定理 任意互素的a和n，有 a^φ(n)≡1mod n 证明：如果n是素数，则原式变为 a^(n-1)≡1modn，a与n互素，由费马定理可知该式成立；（该式对任意整数n都成立。只需要a与n互素）； a^(φ(n)+1)≡amodn

9.素性测试

                 （1）Miller-Rabin算法 背景：≥3的奇整数n，可用 n-1=2^k *q表示出来，q为奇数； a.素数的两个性质： 第一个性质：素数p，小于p的正整数a，a^2≡1modp 当且仅当 amodp=1 或 amodp=-1（a=整数倍[p-1]); 第二个性质：任意＞2的素数p，可用p-1=2^k *q，q为奇数，k>0.设a是整数且1<a<p-1,则有下面两个条件之一成立： a^q≡1mod p或 当整数a^q,a^2q,a^4q, a^(2^[k-1]q)中存在一个数，使得模p时和-1同余。 b.详细算法：（对以上的简单结论）若n为素数，则剩余类数列（a^q,a^2q,a^4q,...,a^[2^k]q）中，要么第一个数模n为1，要么某一个数模n为n-1；否则n不为素数。 (emmmm...有的时候就算结论满足了，n也不一定素数，但是只要n是素数，该结论一定满足) 此算法不能准确的判断出某数是否一定是素数，但是通过反复选择多个a的值可以给出一个概率性 (有多大把握说该数是素数）。

                （2）素数的分布 n附近的素数分布情况：平均每ln(n)个整数中有一个素数。 10.中国剩余定理 内容太多，参见博客[https://www.cnblogs.com/MashiroSky/p/5918158.html](中国剩余定理学习笔记)