中国剩余定理学习笔记

先看一道poj上的题目:【poj1006】 Biorhythms

题意:

  人自出生起就有体力,情感和智力三个生理周期,分别为23,28和33天。一个周期内有一天为峰值,在这一天,人在对应的方面(体力,情感或智力)表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日期,分别对应于体力,情感,智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期,要求从这一天开始,算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。

分析:

  首先我们要知道,任意两个峰值之间一定相距整数倍的周期。假设一年的第N天达到峰值,则下次达到峰值的时间为${N+Tk}$(${T}$是周期,${k}$是任意正整数)。所以,三个峰值同时出现的那一天${(S)}$应满足$${S = N_1 + T_1*k_1 = N_2 + T_2*k_2 = N_3 + T_3*k_3}$$

  ${N1,N2,N3}$分别为为体力,情感,智力出现峰值的日期, ${T1,T2,T3}$分别为体力,情感,智力周期。 我们需要求出${k1,k2,k3}$三个非负整数使上面的等式成立。

  想直接求出${k1,k2,k3}$貌似很难,但是我们的目的是求出${S}$, 可以考虑从结果逆推。根据上面的等式,${S}$满足三个要求:除以${T_1}$余数为${N_1}$,除以${T_2}$余数为${N_2}$,除以${T_3}$余数为${N_3}$。这样我们就把问题转化为求一个最小数,该数除以${T_1}$余${N_1}$,除以${T_2}$余${N_2}$,除以${T_3}$余${N_3}$。这就是著名的中国剩余定理,我们的老祖宗在几千年前已经对这个问题想出了一个精妙的解法。依据此解法的算法,时间复杂度可达到${O(1)}$。 


 中国剩余定理

  在《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),七七数之剩二(除以7余2),问物几何?”这个问题称为“孙子问题”,该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。具体解法分三步:

    1. 找出三个数:从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15,从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21,最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。
    2. 用15乘以2(2为最终结果除以7的余数),用21乘以3(3为最终结果除以5的余数),同理,用70乘以2(2为最终结果除以3的余数),然后把三个乘积相加${15*2+21*3+70*2}$得到和233。
    3. 用233除以3,5,7三个数的最小公倍数105,得到余数23,即${ 233\%105=23 }$。这个余数23就是符合条件的最小数。

  就这么简单。我们在感叹神奇的同时不禁想知道古人是如何想到这个方法的,有什么基本的数学依据吗?

  我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题,从零开始,试图揣测古人是如何推导出这个解法的。

  首先,我们假设${n_1}$是满足除以3余2的一个数,比如2,5,8等等,也就是满足${3*k+2(k>=0)}$的一个任意数。同样,我们假设${n_2}$是满足除以5余3的一个数,${n_3}$是满足除以7余2的一个数。

  有了前面的假设,我们先从${n_1}$这个角度出发,已知${n_1}$满足除以3余2,能不能使得${n_1+n_2}$的和仍然满足除以3余2?进而使得${n_1+n_2+n_3}$的和仍然满足除以3余2?

  这就牵涉到一个最基本数学定理,如果有${ a \% b=c }$,则有${ (a+k*b) \% b=c(k为非零整数) }$,换句话说,如果一个除法运算的余数为${c}$,那么被除数与${k}$倍的除数相加(或相减)的和(差)再与除数相除,余数不变。这个是很好证明的。

  以此定理为依据,如果${n_2}$是3的倍数,${n_1+n_2}$就依然满足除以3余2。同理,如果${n_3}$也是3的倍数,那么${n_1+n_2+n_3}$的和就满足除以3余2。这是从${n_1}$的角度考虑的,再从${n_2}$,${n_3}$的角度出发,我们可推导出以下三点:

    1. 为使${n_1+n_2+n_3}$的和满足除以3余2,${n_2}$和${n_3}$必须是3的倍数。
    2. 为使${n_1+n_2+n_3}$的和满足除以5余3,${n_1}$和${n_3}$必须是5的倍数。
    3. 为使${n_1+n_2+n_3}$的和满足除以7余2,${n_1}$和${n_2}$必须是7的倍数。

  因此,为使${n_1+n_2+n_3}$的和作为“孙子问题”的一个最终解,需满足:

    1. ${n_1}$除以3余2,且是5和7的公倍数。
    2. ${n_2}$除以5余3,且是3和7的公倍数。
    3. ${n_3}$除以7余2,且是3和5的公倍数。

  所以,孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数${n_1}$,从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数${n_2}$,从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数${n_3}$,再将三个数相加得到解。在求${n_1}$,${n_2}$,${n_3}$时又用了一个小技巧,以${n_1}$为例,并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数,而是先找一个除以3余1的数,再乘以2。也就是先求出5和7的公倍数模3下的逆元,再用逆元去乘余数

  这里又有一个数学公式,如果${a \% b=c}$,那么${(a*k) \% b=a \% b+a \% b+…+a \% b=c+c+…+c=k*c(k>0)}$,也就是说,如果一个除法的余数为${c}$,那么被除数的${k}$倍与除数相除的余数为${k*c}$。展开式中已证明。

  最后,我们还要清楚一点,${n_1+n_2+n_3}$只是问题的一个解,并不是最小的解。如何得到最小解?我们只需要从中最大限度的减掉掉3,5,7的公倍数105即可。道理就是前面讲过的定理“如果${a \%b=c}$,则有${(a-k*b) \% b=c}$”。所以${(n_1+n_2+n_3)\% 105}$就是最终的最小解。

  这样一来就得到了中国剩余定理的公式:

设正整数两两互素,则同余方程组

                             

有整数解。并且在模下的解是唯一的,解为

                               

其中,而的逆元。

 


 

中国剩余定理扩展——求解模数不互质情况下的线性方程组:

  普通的中国剩余定理要求所有的互素,那么如果不互素呢,怎么求解同余方程组?

  这种情况就采用两两合并的思想,假设要合并如下两个方程:

  那么得到:

  我们需要求出一个最小的${x}$使它满足:

  那么${x_1}$和${x_2}$就要尽可能的小,于是我们用扩展欧几里得算法求出${x_1}$的最小正整数解,将它代回${a_1+m_1x_1}$,得到${x}$的一个特解${x'}$,当然也是最小正整数解。

  所以${x}$的通解一定是${x'}$加上${lcm(m1,m2)*k}$,这样才能保证${x}$模${m_1}$和${m_2}$的余数是${a_1}$和${a_2}$。由此,我们把这个${x'}$当做新的方程的余数,把${lcm(m1,m2)}$当做新的方程的模数。(这一段是关键

  合并完成:


 

参考资料:

http://www.cnblogs.com/walker01/archive/2010/01/23/1654880.html

http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8050018

posted @ 2016-09-28 22:17 MashiroSky 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏