lfyzoj103 割海成路之日

问题描述

现在，摆在早苗面前的是一道简单题。只要解决了这道简单题，早苗就可以发动她现人神的能力了：

输出

\[1\ \mathrm{xor}\ 2\ \mathrm{xor} \cdots \mathrm{xor}\ n \]

输入格式

第一行是一个整数 \(T\)，代表有 \(T\) 组数据。

下来 \(T\) 行，一行一个整数 \(n\)。

输出格式

\(T\) 行，一行一个整数，是你的答案。

样例一

input

2
3 
5

output

0
1

数据范围与约定

对于 \(30\%\) 的数据，\(T \leq 10\)，\(n \leq 100\)。

对于 \(50\%\) 的数据，\(T \leq 100000\)，\(n \leq 100000\)。

对于另外 \(30\%\) 的数据，\(T \leq 2\)，\(n \leq 10^{12}-1\)。

对于所有的数据，\(1 \leq T \leq 1145140\)，\(1 \leq n \leq 10^{18}-1\)。

时间限制： \(1\mathrm{s}\)

内存限制： \(256\mathrm{MB}\)

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题解

本文整理自flyinghearts的博客。

记 \(f(x,y)\) 为从 \(x\) 一路异或到 \(y\) 的值。\(\mathrm{xor}\) 异或，\(\mathrm{or}\) 是或。

对于 \(f(2^k,2^{k+1}-1)\) 这 \(2^k\) 个数，它们的最高位显然是第 \(k\) 位。最高位的 \(1\) 的个数为 \(2^k\)。

\(k \geq 1\) 时， \(2^k\) 为偶数，\(\mathrm{xor}\) 下来成了 \(0\)。将这些数的最高位抹去，\(f\) 的值不变，则 \(f(2^k,2^{k+1}-1)=f(2^k-2^k,2^{k+1}-1-2^k)=f(0,2^k-1)\)。

则 \(f(0,2^{k+1}-1) = f(0,2^k-1)\ \mathrm{xor}\ f(2^k,2^{k+1}-1)=0\) 当 \(k \geq 1\) 时。

即 \(f(0,2^k-1)=0\) 当 \(k \geq 2\) 时。

对于 \(n \geq 4\)，设其最高位 \(1\) 在第 \(k\) 位，则 \(k \geq 2\)。

\(f(0,n)=f(0,2^k-1)\ \mathrm{xor}\ f(2^k,n)=f(2^k,n)\)

对于 \(2^k \sim n\) 这 \(n-2^k+1\) 个数，最高位有 \(m=n-2^k+1\) 个 \(1\)。

\(n\) 与 \(n-2^k\) 同奇偶。

• 当 \(n\) 为奇数时

\(m\) 是偶数，则 \(f(2^k,n)=f(0,n-2^k)\)。

递降这个公式，也即相当于不断剥去 \(n\) 最高位的 \(1\)，得到 \(f(0,n)=f(0,n \bmod 4)\)。

\(n \equiv 1 \pmod 4\) 时，\(f(1,n)=f(0,n)=f(0,1)=1\)。

\(n \equiv 3 \pmod 4\) 时，\(f(1,n)=f(0,n)=f(0,3)=0\)。

• 当 \(n\) 为偶数时

\(m\) 是奇数，则 \(f(2^k)=f(n-2^k)\ \mathrm{or}\ 2^k\)。

递降这个公式，得 \(f(0,n)=\eta\ \mathrm{or}\ f(0,n \bmod 4)\)。

其中 \(\eta\) 是 \(n\) 将第 \(0,1\) 位置 \(0\) 后的数。

\(n \equiv 0 \pmod 4\) 时，\(f(1,n)=f(0,n)=n\)。

\(n \equiv 2 \pmod 4\) 时，\(f(1,n)=f(0,n)=n+1\)。

综上所述

\[f(1,n)= \begin{cases} n, &n \equiv 0 \pmod 4\\ 1, &n \equiv 1 \pmod 4\\ n+1, &n \equiv 2 \pmod 4\\ 0, &n \equiv 3 \pmod 4\\ \end{cases} \]

因此我们得到了 \(\mathrm{O}(1)\) 算法