求1到n这n个整数间的异或值 (O(1)算法)

问题:求1nn个整数间的异或值,即 1 xor 2 xor 3 ... xor n

 

f(x, y) xy的所有整数的异或值。

 

f(2^k, 2^(k+1) -1) (注意文章中的 ^ 表示的是“幂”,xor 表示“异或”,or 表示“或”)

2^k 2^(k+1) -1 2^k个数,最高位(+k位)的1个数为2^k

k >= 1,则2^k为偶数,将这2^k个数的最高位(+k)去掉,异或值不变。

因而 f(2^k, 2^(k+1) -1) = f(2^k - 2^k, 2^(k+1) -1 -2^k) = f(0, 2^k -1)

因而 f(0, 2^(k+1) -1) = f(0, 2^k -1) xor f(2^k, 2^(k+1) -1) = 0 (k >= 1)

f(0, 2^k - 1) = 0 (k >= 2)

 

f(0, n)  (n >= 4) n的最高位1是在+k(k >= 2)

f(0, n) = f(0, 2^k - 1) xor f(2^k, n) = f(2^k, n)

2^knn+1-2^k个数,最高位(+k)共有 m = n+1-2^k 1,去除最高位的1

 

n为奇数时,m是偶数,因而 f(0, n) = f(2^k, n) = f(0, n - 2^k)

由于n - 2^k n同奇偶,递推上面的公式,可得:f(0, n) = f(0, n % 4)

n % 4 == 1 时, f(0, n) = f(0, 1) = 1

n % 4 == 3 时, f(0, n) = f(0, 3) = 0

 

n为偶数时,m是奇数,因而 f(0, n) = f(2^k, n) = f(0, n - 2^k)  or  2^k

也就是说,最高位1保持不变,由于n - 2^k n同奇偶,递推上面的公式,

可得:f(0, n) = nn or  f(0, n % 4)   (nn n的最低2位置0)

n % 4 == 0 时, f(0, n) = n

n % 4 == 2 时, f(0, n) = nn or  3 = n + 1 (公式对 n = 2仍成立)

 

综上所述:

f(1, n)  =  f(0, n)  =

   n      n % 4 == 0

   1      n % 4 == 1

   n +1   n % 4 == 2

0      n % 4 == 3

 

代码:

unsigned xor_n(unsigned n)

{

 unsigned t = n & 3;

 if (t & 1) return t / 2u ^ 1;

 return t / 2u ^ n;

}

posted @ 2011-03-22 23:36  flyinghearts  阅读(5515)  评论(0编辑  收藏  举报