浅谈数据结构-二叉排序树
构造二叉排序树目的是为了提高查找、插入和删除的效率。其实在构建二叉排序树的时候已经暗藏着排序。因此二叉排序树具有以下几个特点：
- 如根节点有左子树，则左子树的所有结点都比根节点小。
- 如根节点有右子树，则右子树所有结点都比根节点大。
- 根节点的左、右子树也分别为二叉排序树。
二叉树的存储结构
typedef struct BiTree { int data; struct BitTree *lChild,*rChild; }BitTree,*pBitTree;
二叉排序树算法
二叉排序树的算法分为查找、插入和删除工作，当然在创建树的过程也是查找和插入工作。
一、查找算法
二叉排序树的查找算法，在之前二叉树遍历将结果，原理一样的，就是迭代输出，在遍历时，按照中序遍历，可以将二叉排序树中的数据按递增的顺序将数据输出。
1、代码
/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */ typedef struct BiTNode /* 结点结构 */ { int data; /* 结点数据 */ struct BiTNode *lchild, *rchild; /* 左右孩子指针 */ } BiTNode, *BiTree; /**BiTree等价于typedef BiTNode *BiTree*/ /*查找二叉排序树T中是否存在key(递归查找)*/ Status Search(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p) { if (!T) /* 查找不成功 */ { *p = f; return FALSE; } else if (key==T->data) /* 查找成功 */ { *p = T; return TRUE; } else if (key<T->data) return Search(T->lchild, key, T, p); /* 在左子树中继续查找 */ else return Search(T->rchild, key, T, p); /* 在右子树中继续查找 */ }
2、分析
上述代码中BiTree f 起到了获取在查找过程中获取Bitree中结点为NUll的父节点，当不成功时，传递给P，然后由p传出，最后获取到查找失败的父节点，为了后续的插入操作中，插入结点。
二、插入算法
1、算法思想
思路：比如我们要插入数字20到这棵二叉排序树中。那么步骤如下：
1) 首先将20与根节点进行比较，发现比根节点小，所以继续与根节点的左子树30比较。
2) 发现20比30也要小，所以继续与30的左子树10进行比较。
3) 发现20比10要大，所以就将20插入到10的右子树中。
此时二叉排序树效果如图：
2、代码
/* 当二叉排序树T中不存在关键字等于key的数据元素时， */ /* 插入key并返回TRUE，否则返回FALSE */ Status Insert(BiTree *T, int key) { BiTree p,s; if (!Search(*T, key, NULL, &p)) /* 查找不成功 */ { s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); s->data = key; s->lchild = s->rchild = NULL; if (!p) *T = s; /* 插入s为新的根结点 */ else if (key<p->data) p->lchild = s; /* 插入s为左孩子 */ else p->rchild = s; /* 插入s为右孩子 */ return TRUE; } else return FALSE; /* 树中已有关键字相同的结点，不再插入 */ }
上述代码充分利用的二叉排序树的查找，在插入前，先查找，如果不成功，进行插入工作。
三、删除结点
1、算法思想
1) 删除的是叶节点(即没有孩子节点的)。比如20，删除它不会破坏原来树的结构，最简单。如图所示。
2) 删除的是单孩子节点。比如90，删除它后需要将它的孩子节点与自己的父节点相连。情形比第一种复杂一些。
3 删除的是有左右孩子的节点。比如根节点50，这里有一个问题就是删除它后将谁做为根节点的问题？利用二叉树的中序遍历，就是右节点的左子树的最左孩子。
分析完了，有了思路之后，下面就开始写代码来实现这些功能了。
2、代码
/* 从二叉排序树中删除结点p，并重接它的左或右子树。 */ Status DeleteBST(BiTree *p) { BiTree q,s; if((*p)->rchild==NULL) /* 右子树空则只需重接它的左子树（待删结点是叶子也走此分支) */ { q=*p; *p=(*p)->lchild; free(q); } else if((*p)->lchild==NULL) /* 只需重接它的右子树 */ { q=*p; *p=(*p)->rchild; free(q); } else /* 左右子树均不空 */ { q=*p; s=(*p)->lchild; while(s->rchild) /* 转左，然后向右到尽头（找待删结点的前驱） */ { q=s; s=s->rchild; } (*p)->data=s->data; /* s指向被删结点的直接前驱（将被删结点前驱的值取代被删结点的值） */ if(q!=*p) q->rchild=s->lchild; /* 重接q的右子树 */ else q->lchild=s->lchild; /* 重接q的左子树 */ free(s); } return TRUE; } /* 若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素结点, */ /* 并返回TRUE；否则返回FALSE。 */ Status Delete(BiTree *T,int key) { if(!*T) /* 不存在关键字等于key的数据元素 */ return FALSE; else { if (key==(*T)->data) /* 找到关键字等于key的数据元素 */ return DeleteBST(T); else if (key<(*T)->data) return Delete(&(*T)->lchild,key); else return Delete(&(*T)->rchild,key); } }
3、代码分析
删除结点分为两个个阶段：
1、查找结点位置，就是结点查找的变形，将输出变为删除操作。
2、删除结点，根据结点位置进行不同操作。
1、判断结点只有左叶子结点（右结点为null），则删除左结点（很简单，改变P指向即可）。
2、判断结点只有右叶子结点（做结点为null），则删除右结点。
3、结点为分支结点，且有左右子树。获取左子树最大结点，赋值给删除结点data，同时将这个最大结点删除。
四、二叉排序树算法代码
/*包含头文件*/ #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "io.h" #include "math.h" #include "time.h" #define OK 1 #define ERROR 0 #define TRUE 1 #define FALSE 0 #define MAXSIZE 20 typedef int Status; /* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */ typedef struct BiTNode /* 结点结构 */ { int data; /* 结点数据 */ struct BiTNode *lchild, *rchild; /* 左右孩子指针 */ } BiTNode, *BiTree; /**BiTree等价于typedef BiTNode *BiTree*/ /*查找二叉排序树T中是否存在key(递归查找)*/ Status Search(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p) { if (!T) /* 查找不成功 */ { *p = f; return FALSE; } else if (key==T->data) /* 查找成功 */ { *p = T; return TRUE; } else if (key<T->data) return Search(T->lchild, key, T, p); /* 在左子树中继续查找 */ else return Search(T->rchild, key, T, p); /* 在右子树中继续查找 */ } /* 当二叉排序树T中不存在关键字等于key的数据元素时， */ /* 插入key并返回TRUE，否则返回FALSE */ Status Insert(BiTree *T, int key) { BiTree p,s; if (!Search(*T, key, NULL, &p)) /* 查找不成功 */ { s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); s->data = key; s->lchild = s->rchild = NULL; if (!p) *T = s; /* 插入s为新的根结点 */ else if (key<p->data) p->lchild = s; /* 插入s为左孩子 */ else p->rchild = s; /* 插入s为右孩子 */ return TRUE; } else return FALSE; /* 树中已有关键字相同的结点，不再插入 */ } /* 从二叉排序树中删除结点p，并重接它的左或右子树。 */ Status DeleteBST(BiTree *p) { BiTree q,s; if((*p)->rchild==NULL) /* 右子树空则只需重接它的左子树（待删结点是叶子也走此分支) */ { q=*p; *p=(*p)->lchild; free(q); } else if((*p)->lchild==NULL) /* 只需重接它的右子树 */ { q=*p; *p=(*p)->rchild; free(q); } else /* 左右子树均不空 */ { q=*p; s=(*p)->lchild; while(s->rchild) /* 转左，然后向右到尽头（找待删结点的前驱） */ { q=s; s=s->rchild; } (*p)->data=s->data; /* s指向被删结点的直接前驱（将被删结点前驱的值取代被删结点的值） */ if(q!=*p) q->rchild=s->lchild; /* 重接q的右子树 */ else q->lchild=s->lchild; /* 重接q的左子树 */ free(s); } return TRUE; } /* 若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素结点, */ /* 并返回TRUE；否则返回FALSE。 */ Status Delete(BiTree *T,int key) { if(!*T) /* 不存在关键字等于key的数据元素 */ return FALSE; else { if (key==(*T)->data) /* 找到关键字等于key的数据元素 */ return DeleteBST(T); else if (key<(*T)->data) return Delete(&(*T)->lchild,key); else return Delete(&(*T)->rchild,key); } } /*二叉树中序遍历*/ void LDR(BiTree T) { if (T!=NULL) { LDR(T->lchild); printf("%d ",T->data); LDR(T->rchild); } } #define N 10 void main() { int i,j; BiTree T=NULL; //定义数组和初始化SeqList int d[N]={62,88,58,47,35,73,51,99,37,93}; for (i=0;i<N;i++) { Insert(&T,d[i]); } printf("***************二叉排序树查找(C版)***************\n"); printf("初始化二叉排序树\n中序遍历数据："); LDR(T); printf("\n***************删除节点1***************\n"); Delete(&T,93); printf("删除叶节点93\n中序遍历后："); LDR(T); printf("\n***************删除节点2***************\n"); Delete(&T,47); printf("删除双孩子节点47\n中序遍历后："); LDR(T); getchar(); }
