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浅析数据结构-图的基本概念

线性表和树两类数据结构,线性表中的元素是“一对一”的关系,树中的元素是“一对多”的关系,本章所述的图结构中的元素则是“多对多”的关系。图(Graph)是一种复杂的非线性结构,在图结构中,每个元素都可以有零个或多个前驱,也可以有零个或多个后继,也就是说,元素之间的关系是任意的。

一、图的定义与术语

定义:图(Graph)是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成,通常表示为:G(V,E),其中,G表示一个图,V是图G中顶点的集合,E是图G中边的集合。

1、图的分类

图是按照无方向和有方向分为无向图和有向图。

clip_image001

左图为无向图是由顶点和边构成,右图为有向图是由顶点和弧(有向边构成)。弧有弧头和弧尾区别。

按照边分为稀疏图和稠密图,这是个模糊的概念,同样是相对的概念。

如果任意两个顶点之间都存在边叫完全图,有向的边叫有向完全图。如果无重复的边或者顶点到自身的边叫简单图。在用数学方式表示时,无向边用()表示,有向边用<>表示。现在我们讲解的图全是简单图。

clip_image002

左图没有重复的边或者到自身的边(简单图),右图则有。

clip_image005

这种边带权值的图叫网

2.图的顶点和边间关系

顶点的度:顶点关联边的数目。有向图图中有,入度:方向指向顶点的边;出度:方向背向顶点的边。在有向图中顶点的度就是两者之和。

路径长度:路径上边或者弧的数目。

clip_image006

左图中,从B到D的路径度为2,在右图中就是3了(粗线的边)。

右图中A的入度是2,出度是1;B的入度为0,出度是2.

连通

在无向图G中,任意两个顶点是相通的就是连通图。

clip_image007

左图不是连通图,AE之间没有连通。

二、图的存储结构

图的结构比价复杂,任意两个顶点之间都可能存在关系,不能用简单的顺序存储结构来表示。如果运用多重链表,即一个数据域多个指针域组成的结点表示图中一个结点,则造成大量存储单元浪费。

1、邻接矩阵

邻接矩阵用两个数组保存数据。一个一维数组存储图中顶点信息,一个二维数组存储图中边或弧的信息。

clip_image009

无向图中二维数组是个对称矩阵。

特点:

  • 1、0表示无边,1表示有边

        2、顶点的度是行内数组之和。

        3、求取顶点邻接点,将行内元素遍历下。

    clip_image010

    有向图的邻接矩阵:有向图中讲究入度和出度,各行之和是出度,各列之和是入度。

    带权的图叫网,用邻接矩阵表示为:

    clip_image012

    邻接矩阵对于边数相对顶点较少的图,就是对存储空间极大的浪费。

    2、邻接表

    邻接表:数组和链表相结合的存储方法为邻接表。

  • 图中顶点用一个一维数组存储。
  • 图中每个顶点Vi的所有邻接点构成一个线性表。

    clip_image013

    从图中得知,顶点表的各个结点由data和Firstedge两个域表示,data是数据域,存储顶点信息,firstedge是指针域,指向边表的第一个结点,即顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域,存储某顶点的邻接点在顶点表中坐标,next存储边表中下一个结点指针。比如v1顶点与v2、v0互为邻接点,则在v1边表中,adjvex分别为0和2。

    有向图也可以用邻接表,出度表叫邻接表,入度表尾逆邻接表。

    clip_image014

    3、十字链表

    在邻接表中针对有向图,分为邻接表和逆邻接表,导致无法从一个表中获取图的入读和出度的情况,有人提出了十字链表。

    定点表:

    clip_image015

    其中firstin:入边表头指针,指向顶点入边表的第一个结点。

    firstout:出边表头指针,指向顶点出边表第一个结点。

    边表:

    clip_image016

    其中tailvex是指弧起点在顶点表的下标,headvex弧终点在顶点表的下标,headlink入边表指针域,指向终点相同的下一条边,taillink是指边表指针域,指向起点相同的下一条边。

    clip_image017

    4、邻接多重表

    邻接多重表结构如图:

    clip_image018

    ivex和jvex是与某条边依附的两个顶点在顶点表中的下标。ilink指向依附项点ivex的下一条边,jlink指向依附顶点jvex的下一条边。

     

    三 、代码实现

     

    #include <iostream>
    
    #define  MAXVEX 100      //最大顶点数
    #define INFINITY 65535   //最大权值
    
    typedef int EdgeType;    //权值类型自己定义
    typedef char VertexType;  //顶点类型自己定义
    #pragma once
    
    #pragma region 邻接矩阵结构体
    typedef struct 
    {
        VertexType vex[MAXVEX];   //顶点表
        EdgeType arg[MAXVEX][MAXVEX];  ///权值表-邻接矩阵
        int numVertexes,numEdges;  //图中的边数和顶点数
    }GraphArray;
    
    #pragma endregion
    
    #pragma region 邻接表结构体
    //边表结点
    typedef struct EdgeNode
    {
        int nNodevex;     //邻接点的点表中结点的坐标
        EdgeType nNodeWeight;   //用于网图中边的权值
        EdgeNode* next;       //链域,指向下一个邻接点
    }EdgeNode,*pEdgeNode;
    //顶点表结点
    typedef struct VertexNode
    {
        VertexType nNodeData;   //顶点表中存储的数据
        pEdgeNode pFirstNode;   //顶点表和边表中关联指针,指向边表头指针
    
    }VertexNode,pVertexNode,VertexList[MAXVEX];
    //图结构
    typedef struct
    {
        VertexList vertexList;
        int numVertess,numEdges;
    }GraphList;
    
    #pragma endregion
    
    class GraphData
    {
    public:
        GraphData(void);
        ~GraphData(void);
        #pragma region 创建邻接矩阵
        void CreateGraphArray(GraphArray* pGraphArray,int numVer,int numEdegs);
        int GetGraphLocation(GraphArray* pGraphArrray,char chpoint);
        #pragma endregion
    
        #pragma region 创建邻接表
        void CreateGraphList(GraphList* pList,int numVer,int numEdegs);
        int GetGraphListLocation(GraphList* pList,char chpoint);
        #pragma endregion
    
    };
    Graphdata.h

     

  • #include "GraphData.h"
    
    
    GraphData::GraphData(void)
    {
    }
    
    
    GraphData::~GraphData(void)
    {
    }
    
    int GraphData::GetGraphLocation(GraphArray* pGraphArrray,char chpoint)
    {
        int i = 0;
        for (i = 0;i< pGraphArrray->numVertexes;i++)
        {
            if (pGraphArrray->vex[i] == chpoint)
            {
                break;;
            }
        }
        if (i >= pGraphArrray->numVertexes)
        {
            return -1;
        }
        return i;
    }
    /// <summary>
    /// 创建邻接矩阵
    /// </summary>        
    void GraphData::CreateGraphArray(GraphArray* pGraphArray,int numVer,int numEdegs)
    {
        int weight = 0;
        pGraphArray->numVertexes = numVer;
        pGraphArray->numEdges = numEdegs;
        
        //创建顶点表
        for (int i= 0; i < numVer;i++)
        {
            pGraphArray->vex[i] = getchar();
            while(pGraphArray->vex[i] == '\n')
            {
                pGraphArray->vex[i] = getchar();
            }
        }
    
        //创建邻接表的边矩阵
        for (int i = 0; i < numEdegs; i++)
        {
            for (int j = 0;j < numEdegs ; j++)
            {
                pGraphArray->arg[i][j] = INFINITY;
            }        
        }
        for(int k = 0; k < pGraphArray->numEdges; k++)
        {
            char p, q;
            printf("输入边(vi,vj)上的下标i,下标j和权值:\n");
    
            p = getchar();
            while(p == '\n')
            {
                p = getchar();
            }
            q = getchar();
            while(q == '\n')
            {
                q = getchar();
            }
            scanf("%d", &weight);    
    
            int m = -1;
            int n = -1;
            m = GetGraphLocation(pGraphArray, p);
            n = GetGraphLocation(pGraphArray, q);
            if(n == -1 || m == -1)
            {
                fprintf(stderr, "there is no this vertex.\n");
                return;
            }
            //getchar();
            pGraphArray->arg[m][n] = weight;
            pGraphArray->arg[n][m] = weight;  //因为是无向图,矩阵对称
        }
        
    }
    
    #pragma region
    void GraphData::CreateGraphList(GraphList* pList,int numVer,int numEdegs)
    {
        int weight = 0;
        GraphList *pGraphList = pList;
        pGraphList->numVertess = numVer;
        pGraphList->numEdges = numEdegs;
        EdgeNode* firstNode,*secondNode;
        //创建顶点表
        for (int i= 0; i < numVer;i++)
        {
            pGraphList->vertexList[i].nNodeData = getchar();
            pGraphList->vertexList[i].pFirstNode = NULL;
            while(pGraphList->vertexList[i].nNodeData == '\n')
            {
                pGraphList->vertexList[i].nNodeData = getchar();
            }
        }
    
        //创建边表    
        for(int k = 0; k < pGraphList->numEdges; k++)
        {
            char p, q;
            printf("输入边(vi,vj)上的下标i,下标j和权值:\n");
    
            p = getchar();
            while(p == '\n')
            {
                p = getchar();
            }
            q = getchar();
            while(q == '\n')
            {
                q = getchar();
            }
            scanf("%d", &weight);    
    
            int m = -1;
            int n = -1;
            m = GetGraphListLocation(pGraphList, p);
            n = GetGraphListLocation(pGraphList, q);
            if(n == -1 || m == -1)
            {
                fprintf(stderr, "there is no this vertex.\n");
                return;
            }
            //getchar();
            //字符p在顶点表的坐标为m,与坐标n的结点建立联系权重为weight
            firstNode = new EdgeNode();
            firstNode->nNodevex = n;
            firstNode->next = pGraphList->vertexList[m].pFirstNode;
            firstNode->nNodeWeight = weight;
            pGraphList->vertexList[m].pFirstNode = firstNode;
    
            //第二个字符second
            secondNode = new EdgeNode();
            secondNode->nNodevex = m;
            secondNode->next = pGraphList->vertexList[n].pFirstNode;
            secondNode->nNodeWeight = weight;
            pGraphList->vertexList[n].pFirstNode = secondNode;
    
        }
    }
    
    int GraphData::GetGraphListLocation(GraphList* pList,char chpoint)
    {
        GraphList *pGraphList = pList;
        int i = 0;
        for (i = 0;i< pGraphList->numVertess;i++)
        {
            if (pGraphList->vertexList[i].nNodeData == chpoint)
            {
                break;;
            }
        }
        if (i >= pGraphList->numVertess)
        {
            return -1;
        }
        return i;
    }
    
    #pragma endregion
    GraphData.cpp
    #include <iostream>
    #include "GraphData.h"
    using namespace std;
    //
    
    void PrintGrgph(GraphList *pGraphList)
    {
        int i =0;
        while(pGraphList->vertexList[i].pFirstNode != NULL && i<MAXVEX)
        {
            printf("顶点:%c  ",pGraphList->vertexList[i].nNodeData);
            EdgeNode *e = NULL;
            e = pGraphList->vertexList[i].pFirstNode;
            while(e != NULL)
            {
                printf("%d  ", e->nNodevex);
                e = e->next;
            }
            i++;
            printf("\n");
        }
        
    }
    int main()
    {
        int numVexs,numEdges;
        GraphData* pTestGraph = new GraphData();
        GraphArray graphArray;
        GraphArray* pGraphArray = &graphArray;
        GraphList* pGgraphList = new GraphList();
        
        cout<<"输入顶点数和边数"<<endl;
        cin>>numVexs>>numEdges;
        cout<<"顶点数和边数为:"<<numVexs<<numEdges<<endl;
    
        /*pTestGraph->CreateGraphArray(pGraphArray,numVexs,numEdges);
        for(int i = 0; i< numEdges;i++)
        {
            for (int j = 0;j< numEdges;j++)
            {
                cout<<pGraphArray->arg[i][j];
            }
            cout<<endl;
        }*/
        pTestGraph->CreateGraphList(pGgraphList,numVexs,numEdges);
        PrintGrgph(pGgraphList);
        system("pause");
    }
    TestGraph

     

posted @ 2015-08-26 14:18  bldong  阅读(29845)  评论(0编辑  收藏  举报