圆锥曲线：椭圆小题解题报告
圆锥曲线：椭圆小题 解题报告
注意事项：
-
由于本人水平有限，可能存在Markdown崩坏，部分题目解题方法可能非最优解，如有更好方法欢迎在评论区指正。
-
部分题目解答可能过于口语化，导致并不符合官方（人教版教材）的要求，请各位在考试中不要学习，使用正确的，符合要求的用语。
-
本文中可能存在错别字，望发现者在评论区指正。
-
本篇博客是为记录本人在完成学校作业的过程中遇到的问题，同时给部分同学作为解题参考用。
-
本篇博客中绘制图像的工具是geogebra。
1~10题：
1
题目：
已知F1,F2是椭圆\(x^2/4+y^2/3=1\)的两个焦点，点P在椭圆上。
（1）若点P到焦点F1的距离等于1，则点P到焦点F2的距离为（）
（2）过F1做直线与椭圆交于A，B两点，则\(\Delta\)ABF2的周长为（）
（3）\(\angle\)PF1F2=120。,则点P到焦点F1的距离为（）
解答：
根据方程容易得出a=2，b=1；因为P在椭圆上，则点P到焦点F2，F1的距离为2a=4；而PF1=1，所以PF2=3。
由题意易得\(\Delta\)ABF2的周长为4a=8.
因为\(\angle\)PF1F2=120。，所以得到方程\(cos\angle\)PF1F2=\((PF~1~^2+(2a-PF1^2)-F1F2^2)/2*PF1*(2a-PF2)\),解出来PF1=\(\sqrt{3}/3\).
其实可以猜一下，此时P点和椭圆上定点重合，算出来是对的。
2
题目：
已知椭圆C：\(x^2/25+y^2/m^2=1（m>0）\)的左右焦点分别为F1,F2,点P在C上，且\(\Delta\)PF1F2的周长为16，则m的值是（）
解答：
由题意得a=5，而\(\Delta\)PF1F2的周长为16=2a+2c，所以c=3。\(a^2-c^2=b^2\),所以b2=m2=16,m=4.
3
题目：
椭圆以x轴，和y轴位对称轴，经过点（2，0），长轴长是短轴的两倍，则椭圆方程（）
解答：
由题意得a=2b.若焦点在x轴上a=2b=1，椭圆方程为\(x^2/4+y^2=1\);
若焦点在y轴上，b=2a=4，椭圆方程为\(x^2/4+y^2/16=1\).
4
题目：
已知F1（-1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点,且\(|AB|=3\)，则椭圆的方程为（）
解答：
由题意得c=1，\(|AB|=3=2b^2/a\).
因为\(b^2=a^2-c^2\),所以\(3=2(a^2-1)/a\),解得a=2或a=-0.5（舍）。所以b=3。椭圆方程为\(x^2/4+y^2/3=1\).
5
题目：
已知椭圆的方程为\(2x^2+3y^2=m(m>0)\),则此椭圆的离心率为（）。
解答：
方程可变化为\(2x^2/m+3y^2/m=1\),所以\(a^2/b^2=(2/m)/(3/m)\),因为\(e=\sqrt{1-a^2/b^2}\),所以\(e=\sqrt{5}/3\).
6
题目：
已知椭圆\(x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)\)的两焦点分别为F1,F2，若椭圆上存在点P，使得\(\angle\)F1PF2=120。,则椭圆离心率的取值范围（）
解答：
当P在椭圆上，下顶点上时\(\angle\)F1PF2最大，不妨设上顶点为A。为了满足\(\angle\)F1PF2=120。,\(\angle\)F1AF2>=120。,\(\angle\)F1AO>=60。,所以\(tan\angle F~1~AO= c/a>= \sqrt{3}/2\);则\(e\in[\sqrt3/2,1]\).
7
题目：
已知F1F2是椭圆C：\(x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)\)的左右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为\(\sqrt{3}/6\),的直线上，\(\Delta\)PF1F2为等腰三角形，\(\angle\)F1F2P=120。，则C的离心率为（）
解答：
设A（-a，0）,F1(-c,0),F2(c,0)，所以直线AP的方程为\(y=\sqrt{3}/6*x+\sqrt{3}/6*a\),
由题意得|PF2|=|F1F2|=2c,所以P（2c，\(\sqrt{3}c\)）;
代入直线方程可得a=4c；所以e=1/4；
8
题目：
已知椭圆C：\(x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)\)的左右顶点A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ax+2ab=0相切，则C的离心率为（）
解答：
由题意得直线到圆心的距离\(d=|2ab|/\sqrt{(a^2+b^2)}=a\),所以\(a^2/b^2=3\),\(e=\sqrt{1-b^2/a^2}=\sqrt{6}/3\).
9
题目：
已知椭圆C的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），过F2的直线与c交于A，B两点，若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|,则C的方程为（）
A.\(x^2/2+y^2=1\) B.\(x^2/3+y^2/2=1\) C.\(x^2/4+y^2/3=1\) D.\(x^2/5+y^2/4=1\)
解答：
|BF1|+|F2B|=2a，由题意得|AB|+|BF2|=2a$\Rightarrow$4|BF2|=2a;
所以|AF1|=|AF2|=a，所以A为短轴端点，\(cos\angle AF2O=1/a\),
\(cos\angle BF1F2=(4+(a/2)^2-(3a/2)^2)/2a=(2-a^2)/a\)
因为\(\angle AF2O+\angle BF1F2=\pi\),
所以\(cos\angle AF2O+cos\angle BF1F2=0\).
\(1/a+(2-a^2)/a=0\Rightarrow a=\sqrt{3}\).
所以b2=2,
故选B。
10
题目：
已知椭圆\(X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)\)的离心率为1/2，则（）
A，a2=2b2 B,3a2=4b2 C,a=2b D,3a=4b
解答：
\(e=\sqrt{1-b^2/a^2}=1/2\Rightarrow b^2/a^2=3/4 \Rightarrow 3a^2=4b^2\).
故选B。
11
题目：
曲线C：\(x^2+y^2=1+|x|y\),如图，给出下面三个结论：
- 曲线C恰好经过6个整点（即横纵坐标均为整数的点）；
- 曲线C上任一一点到原点的距离都不超过\(\sqrt{2}\);
- 曲线C所围成的“心形”区域面积小于3.
其中正确结论的序号是（）
解答：
将x换成-x方程不变，所以图像关于y轴对称，当x=0时代入得y2，y=+1或-1，即曲线过（0，1），（0.-1）；当x>0时，方程变为\(y^2-xy+x^2-1=0\),所以\(\Delta=x^2-4(x^2-1)>=0\),解得\(x\in(0,2\sqrt{3}/3]\),所以x只能取整数1，当x=1时，y=0或1，曲线过（1，1），（1，0）；由对称性得曲线还过（-1，1）和（-1，0），故1正确。
当x>0时，因为\(x^2+y^2=1+xy\),得\(x^2+y^2-1=xy<=(x^2+y^2)/2（iff x=y时取等）\)，所以\(x^2+y^2<=2\),易得曲线C上任意一点到原点距离不超过\(\sqrt{2}\),故2正确。
S心>=\(2*1+1*2*0.5>=3\),故3错误。
12
题目：
已知椭圆\(x^2/9+y^2/5=1\)的左焦点F，点P在椭圆上且在x轴上方，若线段PF的中点以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是（）。
解答：
由题意得圆的方程为\(x^2+y^2=4\).设直线PF方程为y=kx+b，P（m，n）。则PF中点M为（\(（m-2)/2\)，\((km+b)/2\))。
M点在圆上，所以\((m-2)^2/4+n^2/2=4\);M在椭圆上，所以\(m^2/9+y^2/5=1\).
所以\(4m^2-36m-63=0 \Rightarrow m=-3/2或 m=21/2(舍)\)。
kPF=\((\sqrt{15}/2-0)/(-3/2-(-2))=\sqrt{15}\).
其实还有一种解法，我会补上的（咕咕咕）
13
题目：
设F1，F2为椭圆C：\(X^2/36+y^2/20=1\)两个焦点，M为C上一点且在第一象限。若\(\Delta\)MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为（）
解答：
设M（m,n）（m>0,n>0）;F1F2=8。\(a=6,b=2\sqrt{5},c=4,e=c/a=2/3\).
因为M在第一象限，可得|MF1|>|MF2|，
可能|MF1|=2c，或|MF2|=2c。
即\(6+2m/3=8 \Rightarrow m=3 or 6-2m/3=8 \Rightarrow m=-3(舍)\)。
所以M\((3,\sqrt{15})\)。
14
题目：
已知椭圆\(x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)\)的离心率为\(\sqrt{5}/3\),椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为（）。
解答：
由题意得2a=12,a=6;\(e=\sqrt{1-b^2/a^2}=\sqrt{5}/3 \Rightarrow b=4\),2b=8.
此时憨憨plz意识到可以拿手机拍另外一张空白的卷子，而不是手打。
15~19题
15
题目:
点P（0，1），椭圆 \(x^2/4+y^2=m(m>1)\)上两点A，B满足\(\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}\),则当m=（）时点B横坐标的绝对值最大。
解答：
设A（x1,y1）,B(x2,y2);
-x1=2x2,1-y1=2（y2-1),
因为$x12+4y12=4m $ \(x2^2+4y2^2=4m\) ;所以\((y1-2y2)(y1+2y2)=-3m \Rightarrow y1-2y2=-m \Rightarrow y1=(3-m)/2,y2=(3+m)/4\);
则\(m=x2^2+((3-m)/2)^2=(-m^2+10m-9)/4\)
即m=5时，B横坐标绝对值最大。
16
题目：
已知椭圆C：\(x^2/4+y^2=1\)上的三点A，B，C，斜率为负数的直线BC与y轴交与M，若原点O是\(\Delta\)
ABC的重心，且\(\Delta\)BMA与\(\Delta\)CMO的面积之比为3/2，则直线BC的斜率为()
解答：
设B（x1,y1)，C（x2,y2),M(0,m),A（x3,y3),直线BC方程为y=kx+m
因为O是\(\Delta\)ABC的重心；所以\(\Delta\)BMA与\(\Delta\)CMO的高之比为3.
因为\(\Delta\)BMA与\(\Delta\)CMO的面积之比为3/2，则2BM=MC.
即\(2\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MC},\Rightarrow 2x1+x2=0\)
联立\(\begin{cases} y=kx+m\\x^2+4y^2=4\end{cases}\Rightarrow(4k^2+1)x^2+8mkx+4m^2-4=0\).
\(x1+x2=-8km/(1+4k^2),x1x2=(4m^2-4)/(1+4k^2)\)
所以\(36k^2m^2=1-m^2+4k^2\)
因为原点O是\(\Delta\)ABC的重心，所以\(x3=-(x1+x2)=8km/(1+4k^2),y3=-(y2+y1)=-[k(x1+x2)+2m]=-2m/(1+4k^2)\).
因为\(x3^2+4y3^2=4\) ,所以\((8km/(1+4k^2))^2+4(-2m/(1+4k^2))^2 \Rightarrow 1+4k^2=4m^2\)
得到\(k^2=1/12\) 因为k<0,所以k=\(-\sqrt{3}/6\).
17
解答：
由直线l为\(\angle\)F1PF2的外角平分线l垂直于F2M，可得|PM|=|PF2|
a=5；2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|=10
18
解答：
19
解答：
由题意得|PF2|的max为a+c=9，min为a-c=1；
所以a=5，c=4；
e=c/a=4/5
20~29题
20
解答：
由题意得直线AB和\(4x-2y-3=0\)垂直，设直线AB方程为\(y=-x/2+m\),与椭圆方程联立得\(x^2-2mx+2m^2-2=0\),由题意得\(\Delta=4m^2-4(2m^2-2)>0,则有m^2<2\),设A(x1，y1)，B（x2,y2)，因为x1+x2=2m,所以线段AB中点D（m，m/2），D在直线\(4x-2y-3=0\)上，代入得m=1，所以\(|\overrightarrow{OD}|=\sqrt{5}/2\),\(|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=2|\overrightarrow{OD}|=\sqrt{5}\).
为了避免不必要的Markdown崩坏，下面的题目解答将现在Typora上编辑完成后，生成正确预览，再截图保存，使用图片的形式呈现。
21
解答：
22
解答：
23
解答：
24
此题由于plz太菜了，不会做，希望各位大佬在评论区教教我
25
解答：
26
解答：
27
解答：
28
解答：
29
解答：
30~40题
30
解答：
31
解答：
32
解答：
33
解答：
34
解答：
35
解答：
36
解答：
37
解答：
38
解答：
39
解答：
40
解答：
完结撒花
2019年10月5日00:03:49
