树和图上的dp

4. 简单树形dp

这些是最为简单的树形dp。
一般来说，树形dp是通过子树的dp值推出当前点的dp值。
在这里，我们默认当前节点为u，它的儿子节点为v，树的根为rt。

例题4.1 luoguP1122 最大子树和
状态转移方程：\(dp[u]=a[u]+\sum\max\{0,dp[v]\}\)
然后dfs就行了。答案为\(\max\{dp[u]\}\)
代码：

void dfs(int u)
{
    vis[u]=1;
    for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt)
    {
        int p=e[i].to;
        if(!vis[p])
        {
            dfs(p);
            dp[u]+=max(0,dp[p]);
        }
    }
    dp[u]+=a[u];
    vis[u]=0;
}

例题4.2 luoguP1352 没有上司的舞会
树上最大权独立集问题。首先我们找到根rt。
这次要分两种情况讨论，这里用\(dp[u][0/1]\)表示当前节点是选还是不选。
我们有状态转移方程：
\(dp[u][0]=\sum\max\{dp[v][0],dp[v][1]\}\)
\(dp[u][1]=a[u]+\sum dp[v][0]\)
最后答案为\(\max\{dp[rt][0],dp[rt][1]\}\)
代码：

void dfs(int u)
{
    for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt)
    {
        int p=e[i].to;
        dfs(p);
        dp[u][0]+=max(dp[p][0],dp[p][1]);
        dp[u][1]+=dp[p][0];
    }
    dp[u][1]+=a[u];
}

5. 树上背包

可以认为是之前“有依赖的背包”的拓展。这时，物品间的依赖关系构成了一棵树。

例题5.1 luoguP2014 选课

例题5.2 luoguP1273 有线电视网

6. 二次扫描法（换根dp）

例题6.1 luoguP3478 STA-Station

例题6.2 luoguP3647 连珠线

接下来讨论图上的dp。

7. DAG上的dp

最为简单的一种，先拓扑排序，再按照拓扑序dp。
例题7 luoguP3183 食物链
当前节点的dp值就是能到达这个节点的所有节点的值相加。
一开始我们将入度为0的点的dp值赋为1，最后统计的时候记得要将单独一个点的情况（无出度）特判一下。
这里给出拓扑排序部分的代码实现，统计答案略。

void toposort()
{
      queue<int> q;
      for(int i=1;i<=n;i++)
            if(!indeg[i])
            {
                  q.push(i);
                  dp[i]=1;
            }
      while(!q.empty())
      {
            int u=q.front();q.pop();
            for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt)
            {
                  int p=e[i].to;indeg[p]--;
                  dp[p]+=dp[u];
                  if(!indeg[p])q.push(p);
            }
      }
}