随笔分类 - 数学
摘要：这里我们先讨论一般情况 (但一点也不简单, 有很多厉害的定理), 二次剩余之后再说. 1. 一元同余方程的具体解法 我们考虑一般的一元同余方程 $f(x)\equiv0\pmod m$, 容易想到将 $m$ 素因数分解, 分别求解再进行合并. 这就需要下面的定理: 设 $m=m_1\cdots m_
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摘要：参考资料: 潘承洞 潘承彪 《初等数论》(第三版) (主要, 习题也是这上面的) 闵嗣鹤 严士健 《初等数论》(第四版) (补充作用) 大概评价一下两本书 (个人主观). 二潘的初等数论: 看上去很厚 (我手里的这本是北大博雅系列的, 厚度能有 3cm), 但是只看正文的话其实并没有那么多. 内容可
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摘要：1. 同余方程的基本认识与一元一次同余方程 设 $f(x)=\sum\limits_{j=0}^na_jx^j$. 我们称 $f(x)\equiv0\pmod m$ 为 (多项式) 同余方程. 若有整数 $c$ 满足 $f(c)\equiv0\pmod m$, 称 $c$ 为同余方程的一个解. 显然
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摘要：温馨提示: 这一篇是到目前为止内容最多的一章, 性质非常重要, 难度相较于前几篇也有不小的上升. 1. 同余 若 $m|a-b$, 称 $a,b$ 模 $m$ 同余, $b$ 是 $a$ 对模 $m$ 的剩余, 记作 $a\equiv b\pmod m$. 反之记作 $a\not\equiv b\p
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摘要：1. 一次不定方程 我们来考察一次不定方程 $\sum_{j=1}^k a_jx_j=c$. 首先考虑解的存在性. 我们有裴蜀定理: 原方程有解当且仅当 $(a_1,\cdots,a_k)|c$. 证明是容易的. 根据 2.3.8 (即第2篇笔记标题3定理8), 解一定存在. (性质里得出的解乘上
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摘要：1. 素因数分解式的性质 在第一篇里面我们证明了算术基本定理. 下面我们对素因数分解式进行更细致的考察. 首先我们对分解式中相同的素数进行合并, 得到 $a=p_1^{\alpha_1}\cdots p_s^{\alpha_{s}}, p_1<p_2<\cdots<p_s$. 有以下性质: $d|a
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摘要：复读自 丘维声《近世代数》, 但是顺序略有调整. 这本书是在开头就引出了群环域的基本概念, 再在后面进行深入研究. ~~另外LaTeX真的难打.~~ 1. 等价关系 二元关系: 设 $W$ 非空, $W\in S\times S$, 称 $W$ 为 $S$ 上的一个二元关系. 若 $(a,b)\in
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摘要：上一篇实在是太简单了. 接下来我们将要进入最大公因数理论. 1. 最大公因数和最小公倍数 首先我们需要明确公因数的定义. 设有 $a_1,\cdots,a_n$, 若 $d|a_1,\cdots,d|a_n$, 称 $d$ 为 $a_1,\cdots,a_n$ 的公因数. 我们记这些公因数组成的集合
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摘要：作为第一节, 这些都是相当基础的内容, 但是我们可以感受揣摩其定义, 推导的严谨性. 但是最后算术基本定理的证明还是需要技巧的. 1. 整除 定义: 设 $a,b\in\mathbb{Z}, a\neq 0$, 若 $\exist q\in\mathbb{Z}$ 使得 $b=qa$, 则称 $b$
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摘要：1. 矩阵快速幂、加速数列递推与高斯消元解线性方程组 1. 矩阵模板 struct matrix{int n,m,a[110][110];}; matrix input(int n,int m)//输入矩阵 { matrix A;A.n=n;A.m=m; for(int i=1ll;i<=A.n;i
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摘要：在之前的blog中已经对数论函数进行了简单的介绍，这里对其进行更加深入的讨论。 定义两个数论函数的加法：$({\bf f}+{\bf g})(n)={\bf f}(n)+{\bf g}(n)$ 数乘：$(x{\bf f})(n)=x{\bf f}(n)$ 狄利克雷卷积（用符号$$表示）： 若有${\
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摘要：后续：数论整理（代码篇） 当然有的证明因为水平所限不是那么的严谨…… ~~要严谨去看数论教科书或者我写的笔记(宣传~~ 编号不一定与代码篇中的一致。 参考资料：可以认为是各道模板的题解 目前这一篇除了n次剩余和积性函数前缀和都已经更完了。 ##1. 快速幂和光速幂 这个不应该算数论（ 快速幂： 快速
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摘要：$\text{Description}$ $\text{Given a number }p(p\leqslant10^7).$ $\text{Output }2^{2^{2^{2^{\cdots}}}}\bmod p.$ $\text{Method}$ $\text{Use ex-Euler's T
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摘要：$\text{Description}$ $\text{Given a number }L(L\leqslant 2,000,000,000),\text{find a number }x,\text{ so that }L|8\times(10^x-1)/9.$ $\text{Output the
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摘要：理论方面的内容参见数论整理（理论篇） 1. 快速幂$O(\log b)$ 其实这个不应该算数论？ //递归实现 long long qpow(long long a,long long b,long long mod) { if(b==0)return 1; long long ans=qpow(a
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摘要：警告：远古时期文章，内容过于naive，有的还没有严谨证明qaq 问题是这样的：求$0^k+1^k+2^k+\dots +n^k$的通项公式。 首先，这个因为n可能为0，所以通项公式一定是没有常数项的。继续观察可知，通项公式的次数是$k+1$。这样，我们设通项公式为$f(n)=\sum_{i=1}^
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