Day17_最长递增子序列

每日一题

面试题：最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）
题目描述
给定一个整数数组 nums，找到其中最长严格递增子序列的长度（子序列不要求连续）。
示例：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,5,7,101]，长度为 4。

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答案与分析

1. 动态规划解法（时间复杂度 O(n²)）
思路

• 定义 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度。
• 对每个 i，遍历 j 从 0 到 i-1，若 nums[i] > nums[j]，则 dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)。

代码实现

python

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def length_of_LIS(nums):
    dp = [1] * len(nums)
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i):
            if nums[i] > nums[j]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp) if nums else 0

分析

• 时间复杂度为 O(n²)，空间复杂度 O(n)。
• 优点：思路直观，易于理解。
• 缺点：当 n 较大时（如 n=1e4），性能较差。

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2. 贪心 + 二分查找优化（时间复杂度 O(n log n)）
思路

• 维护一个数组 tails，其中 tails[i] 表示长度为 i+1 的递增子序列的最小末尾值。
• 遍历数组，对每个数进行二分查找，找到其在 tails 中的位置并更新或插入。

代码实现

python

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def length_of_LIS(nums):
    tails = []
    for num in nums:
        left, right = 0, len(tails)
        while left < right:
            mid = (left + right) // 2
            if tails[mid] < num:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid
        if left == len(tails):
            tails.append(num)
        else:
            tails[left] = num
    return len(tails)

分析

• 时间复杂度为 O(n log n)，空间复杂度 O(n)。
• 核心思想：通过维护 tails 数组，保证其严格递增。每次插入或替换时，使用二分查找优化效率。
• 为什么能保证正确性？
  • 若当前数比 tails 所有元素大，说明可以形成更长的子序列。
  • 若当前数能替换 tails 中某个元素，说明可以优化后续子序列的构造（更小的末尾值更有利于后续扩展）。

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面试考察点

1. 动态规划基础：是否能设计状态转移方程。
2. 算法优化能力：是否能想到贪心策略和二分查找的结合。
3. 代码实现细节：二分查找的边界条件处理、数组更新逻辑。
4. 复杂度分析：对时间/空间复杂度的理解和权衡能力。